Burada "türevlenebilir" sözcüğü alışılmıştan biraz farklı bir anlamda kullanılıyor.
(Bu soru 1 değişkenli ile çok değişkenli fonksiyonlar arasındaki önemli bir farka da işaret ediyor)
1 Değişkenli fonksiyonlarda, fonksiyonun bir sayıda "türevi var" ise fonksiyon o sayıda "türevlenebilirdir" diyoruz.
Çok değişkenli fonksiyonlarda bu tanım uygun olmuyor.
Bizi farklı bir tanım yapmaya zorlayan en basit fonksiyon:
f(x,y)={xyx2+y2, (x,y)≠(0,0)0,(x,y)=(0,0)
(0,0) da her iki kısmi türevi de var ama "sürekli bile değil".
Onlar için (farkı vurgulamak için) "diferansiyellenebilme" diye yeni bir tanım yapılır. Örneğin iki değişkenli fonksiyonlar için
f(x,y) (en azından) bir (a,b) noktası merkezli bir dairede tanımlı bir fonksiyon olsun.
Eğer
lim(x,y)→(a,b)f(x,y)−(f(a,b)+A(x−a)+B(y−b))√(x−a)2+(y−b)2=0
olacak şekilde A,B∈R sayıları varsa,
f(x,y), (a,b) noktasında diferansiyellenebilirdir deriz.
(eşdeğer daha uzun bir tanımı da var)
f, (a,b) noktasında diferansiyellenebiliyor ise (kolayca gösteriliyor ki) f, (a,b) noktasında kısmi türevlere sahiptir ve A=∂f∂x(a,b) ve B=∂f∂y(a,b) olur ve f, (a,b) noktasında sürekli olur.
Bahsettiğiniz şey bir teorem.
Teorem: Bir (a,b) merkezli bir dairede f nin her iki kısmi türevleri (∂f∂x ve ∂f∂y) var ve ikisi de (a,b) de sürekli ise, f, (a,b) noktasında diferansiyellenebilirdir.
EK:
f, (a,b) de diferansiyellenebilir ise f nin (a,b) de her yönde yönlü türevi var oluyor (Galiba sorunun son cümlesinde sözü edilen özellik bu)