Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
3.3k kez görüntülendi

$\emptyset\not=X,Y\in M_{n\times1}(\mathbb{C})$   ve   $W_{n\times n}$ tersinir bir matris olmak üzere;

$\langle X,Y\rangle_{W}=\langle\overline{Y,X}\rangle_{W}$

eşitliğinin sağlandığını ispat ediniz.

  • $\langle X,Y\rangle_{W}=(W.X)(\overline{W.Y})$ 
  • tanımını ve $W$ nın tersinir oluşunu kullanarak  
    $\langle X,Y\rangle_{W}=X.(\overline{W.Y}).W$ 
    sonucuna ulaşabildim sadece.
    Bu sonuca göre $X$'in tersinir olduğunu gösterirsem ispat biter ama tabii ki gösteremedim.

  • Ya da işi çok zora soktum sadece $W$'nın tersinir oluşunu   
  • $\big($ $W$  tersinir ise $WA=AW=I_{n\times n}$  $(W=A^{-1}.W.A)\big)$
    kullanarak da sonuca ulaşabilirim ama nasıl?

Lisans Matematik kategorisinde (549 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 3.3k kez görüntülendi

$<X,Y>$  nasil tanimlaniyor?


$X=\left[ \begin{matrix} x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3}\\ \vdots \\ x_{n}  \end{matrix} \right] _{n\times 1}$   ,        $Y=\left[ \begin{matrix} y_{1}\\ y_{2}\\ y_{3}\\ \vdots \\ y_{n}  \end{matrix} \right] _{n\times 1}$    olmak üzere


$\langle X,Y\rangle=\langle X,Y\rangle_{I}=x_1.\overline{y_1}+x_2.\overline{y_2}+x_3.\overline{y_3}+...+x_n.\overline{y_n}$

şeklinde öklid iç çarpım olarak tanımlanıyor. $W$ işin içine girince $W$'ya göre iç çarpım oluyor.

vektorler genelde kucuk harflerle gosterilir, buyuk harf kullaninca martis sandim onlari,  boyuta dikkat etmedim..

$<x,y>=\overline{<y,x>}$         ic carpim uzayi icin gecerli olan axiom degil mi?


$X,Y$   $n\times1$ tipinde matrisler hocam.

Evet hocam ama $W$ işin içine girince göstermekte zorlandım.

Peki $A$ ve $B$  $n\times n$ matris olsaydi, $<A,B>$  nasil tanimlanir..


Benim bildigim  $<A,B>=iz(B^HA)$       Frobenius ic carpimi var matrislerle ilgili.

O konuları işlemedik hocam, sadece verilenlerden ve tanımlardan sonuca ulaşamaz mıyız?

Bence   $<x,y>=\overline{<y,x>}$    bu sadece bir kabul, aksiyom, ispati varmi bilmiyorum.


  $<x,y>=\overline{<y,x>}$   bunu kabul edersek ve her iki tarafi $W$  ile carparsan istedigin olur..

Peki hocam teşekkürler yardımlarınız için.

$<x,y>W=<xW,yW>=\overline{<yW,xW>}=\overline{<y,x>W}=\overline{<y,x>}W$     $W \in \mathbb{R}^{n\times n}$  kabul ettim

c bir skaler olmak üzere

$<cX,Y>_{W}=c<X,Y>_{W}$

$<X,cY>_{W}=\overline{c}<X,Y>_{W}$

eşitlikleri sağlanır hocam. $W$ skaler olmadığı halde (skaler olsa bile yazılamaz) $W$'yı nasıl direk iç çarpıma dahil ettiğinizi anlamadım.
@mervekendince Soruda verilen iç çarpımın tanımını yazabilir misin?

Tanımı bu şekilde verilmiş:

$\langle X,Y\rangle_{W}=(W.X).(\overline{W.Y})$

Ortadaki nokta ne anlama geliyor?

$n\times1$  tipindeki iki matrisin çarpımı

$n \times 1$ tipindeki iki matrisin çarpımının nasıl tanımlandığını yazabilir misin?
ilk yorumumda yazdım zaten

Yanlış yazmışım sanırım, düzenledim.

Tanımlarımda sanki çelişki var ama tam kavrayamadım nerede hata yaptığımı

Yok, çelişki yok da notasyonlar birbirine girmiş gibi. Başka şeyler de olmuş ama tam nolmus anlamadım. $X$'in tersinir olmasından bahsediyorsun mesela soru içerisinde.

Şunu göstereceksin: 

"$\langle -,- \rangle$ ilk yorumunda tanımladığın standard iç çarpım olmak üzere, her $X,Y$ için $\langle WX, WY \rangle =\overline{ \langle WY, WX \rangle}$ olur."

Ama zaten bunu biliyorsun. Bu standard iç çarpımının özelliği. Kanıtlanacak pek bir şey yok yani.


Belki de soruyu yanlış ifade ettim şu an bana da ispatlanacak bir durum yok gibi geldi.

$W$'nın tersinir oluşunu kullanmayı deneyin demişti hoca ipucu olarak.

Bu özellik için tersinir olmasına gerek yok. Ama eğer $x\neq 0$ için $\langle Wx,Wx\rangle\neq 0$ olmasını istiyorsan tersinir olmaya ihtiyacın var. Belki budur bahsettiği?

Hayır o başka bir özellik. Soru tam olarak defterde yazdığı gibi ama tanımları yanlış verdim gibi hissediyorum ama doğrusu nasıl olur akıl yürütemiyorum şu an. Herşey birbirine girdi.

Defterde $W=I$  ise $\langle X,Y\rangle_{I}=\langle X,Y\rangle=x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n$  öklid iç çarpımı denir demiş ama ikincilerin eşleniğini almamız gerekmiyo muydu? Sebebini anlamadım

$\left\langle X,Y\right\rangle _{W}=\left( WX\right) \cdot \left( \overline {WY}\right)$ ayrıca değişme özelliğide vardır. 

$\overline {\left( WY\right) \cdot \left( \overline {W}\overline {X}\right) }=\left\langle \overline {YX}\right\rangle _{W}$

Hocam ama sadece $W$'nın değişme özelliği var. Bu sadece $W$'nın yerini değiştirebileceğimiz anlamına gelmiyor mu? Bu yüzden soruda $X$'in de değişme özelliğine sahip olmamız gerekmiyor mu diye ekledim.

Değişme özelliği sadece W da var lakin diğer iç çarpım özelliklerinden çıkarabilirsin diye düşünüyorum. Aslında ispata muhtaç bir özellik değil gibi. İç çarpım özelliklerine iyi bakmak gerek. İyi çalışmalar.

$W$ tersinir ise $\overline{W}$ tersinirdir diyebilir miyiz? bunu diyebiliyorsak ikna olcacağım :)

Tanim baya degismis,  ben $W$ carpim saniyordum sol taraf icin. Bu arada   $.$  yerine  \cdot daha guzel olur.  $A\cdot B$   gibi.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$<X,Y>_W=(W\cdot X)(\overline{W\cdot Y})$   olarak tanimlansin.


$<X,Y>_W=(W\cdot X)(\overline{W\cdot Y})=\overline{(W\cdot Y)(\overline{W\cdot X})}=\overline{<Y,X>}_W$  olur.


2. Yol


$<X,Y>_W=\overline{<Y,X>}_W$    oldugunu gostermek istiyoruz.  


Sol taraf tanim geregi


$<X,Y>_W=(W\cdot X)(\overline{W\cdot Y})$


Sag taraf  tanimdan dolayi


$\overline{<Y,X>}_W=\overline{(W\cdot Y)(\overline{W\cdot X})}=(W\cdot X)(\overline{W\cdot Y})$  olur. 


Sag tarafflar esit ise sol taraflar da esittir

(2.9k puan) tarafından 
20,240 soru
21,759 cevap
73,407 yorum
2,079,223 kullanıcı