$\langle X,Y\rangle_{W}=\langle\overline{Y,X}\rangle_{W}$ eşitliğinin sağlandığını nasıl ispat ederiz?

Question

$\emptyset\not=X,Y\in M_{n\times1}(\mathbb{C})$   ve   $W_{n\times n}$ tersinir bir matris olmak üzere;

$\langle X,Y\rangle_{W}=\langle\overline{Y,X}\rangle_{W}$

eşitliğinin sağlandığını ispat ediniz.

• $\langle X,Y\rangle_{W}=(W.X)(\overline{W.Y})$ 
tanımını ve $W$ nın tersinir oluşunu kullanarak  

$\langle X,Y\rangle_{W}=X.(\overline{W.Y}).W$ 

sonucuna ulaşabildim sadece.

Bu sonuca göre $X$'in tersinir olduğunu gösterirsem ispat biter ama tabii ki gösteremedim.

• Ya da işi çok zora soktum sadece $W$'nın tersinir oluşunu   
$\big($ $W$  tersinir ise $WA=AW=I_{n\times n}$  $(W=A^{-1}.W.A)\big)$

kullanarak da sonuca ulaşabilirim ama nasıl?

Comments

$<X,Y>$  nasil tanimlaniyor?

---

$X=\left[ \begin{matrix} x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3}\\ \vdots \\ x_{n}  \end{matrix} \right] _{n\times 1}$   ,        $Y=\left[ \begin{matrix} y_{1}\\ y_{2}\\ y_{3}\\ \vdots \\ y_{n}  \end{matrix} \right] _{n\times 1}$    olmak üzere

$\langle X,Y\rangle=\langle X,Y\rangle_{I}=x_1.\overline{y_1}+x_2.\overline{y_2}+x_3.\overline{y_3}+...+x_n.\overline{y_n}$

şeklinde öklid iç çarpım olarak tanımlanıyor. $W$ işin içine girince $W$'ya göre iç çarpım oluyor.

---

vektorler genelde kucuk harflerle gosterilir, buyuk harf kullaninca martis sandim onlari,  boyuta dikkat etmedim..

---

$<x,y>=\overline{<y,x>}$         ic carpim uzayi icin gecerli olan axiom degil mi?

---

$X,Y$   $n\times1$ tipinde matrisler hocam.

---

Evet hocam ama $W$ işin içine girince göstermekte zorlandım.

---

Peki $A$ ve $B$  $n\times n$ matris olsaydi, $<A,B>$  nasil tanimlanir..

Benim bildigim  $<A,B>=iz(B^HA)$       Frobenius ic carpimi var matrislerle ilgili.

---

O konuları işlemedik hocam, sadece verilenlerden ve tanımlardan sonuca ulaşamaz mıyız?

---

Bence   $<x,y>=\overline{<y,x>}$    bu sadece bir kabul, aksiyom, ispati varmi bilmiyorum.

  $<x,y>=\overline{<y,x>}$   bunu kabul edersek ve her iki tarafi $W$  ile carparsan istedigin olur..

---

Peki hocam teşekkürler yardımlarınız için.

---

$<x,y>W=<xW,yW>=\overline{<yW,xW>}=\overline{<y,x>W}=\overline{<y,x>}W$     $W \in \mathbb{R}^{n\times n}$  kabul ettim

---

c bir skaler olmak üzere

$<cX,Y>_{W}=c<X,Y>_{W}$

$<X,cY>_{W}=\overline{c}<X,Y>_{W}$

eşitlikleri sağlanır hocam. $W$ skaler olmadığı halde (skaler olsa bile yazılamaz) $W$'yı nasıl direk iç çarpıma dahil ettiğinizi anlamadım.

---

@mervekendince Soruda verilen iç çarpımın tanımını yazabilir misin?

---

Tanımı bu şekilde verilmiş:

$\langle X,Y\rangle_{W}=(W.X).(\overline{W.Y})$

---

Ortadaki nokta ne anlama geliyor?

---

$n\times1$  tipindeki iki matrisin çarpımı

---

$n \times 1$ tipindeki iki matrisin çarpımının nasıl tanımlandığını yazabilir misin?

---

ilk yorumumda yazdım zaten

---

Yanlış yazmışım sanırım, düzenledim.

---

Tanımlarımda sanki çelişki var ama tam kavrayamadım nerede hata yaptığımı

---

Yok, çelişki yok da notasyonlar birbirine girmiş gibi. Başka şeyler de olmuş ama tam nolmus anlamadım. $X$'in tersinir olmasından bahsediyorsun mesela soru içerisinde.

Şunu göstereceksin: 

"$\langle -,- \rangle$ ilk yorumunda tanımladığın standard iç çarpım olmak üzere, her $X,Y$ için $\langle WX, WY \rangle =\overline{ \langle WY, WX \rangle}$ olur."

Ama zaten bunu biliyorsun. Bu standard iç çarpımının özelliği. Kanıtlanacak pek bir şey yok yani.

---

Belki de soruyu yanlış ifade ettim şu an bana da ispatlanacak bir durum yok gibi geldi.

---

$W$'nın tersinir oluşunu kullanmayı deneyin demişti hoca ipucu olarak.

---

Bu özellik için tersinir olmasına gerek yok. Ama eğer $x\neq 0$ için $\langle Wx,Wx\rangle\neq 0$ olmasını istiyorsan tersinir olmaya ihtiyacın var. Belki budur bahsettiği?

---

Hayır o başka bir özellik. Soru tam olarak defterde yazdığı gibi ama tanımları yanlış verdim gibi hissediyorum ama doğrusu nasıl olur akıl yürütemiyorum şu an. Herşey birbirine girdi.

---

Defterde $W=I$  ise $\langle X,Y\rangle_{I}=\langle X,Y\rangle=x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n$  öklid iç çarpımı denir demiş ama ikincilerin eşleniğini almamız gerekmiyo muydu? Sebebini anlamadım

---

$\left\langle X,Y\right\rangle _{W}=\left( WX\right) \cdot \left( \overline {WY}\right)$ ayrıca değişme özelliğide vardır. 

$\overline {\left( WY\right) \cdot \left( \overline {W}\overline {X}\right) }=\left\langle \overline {YX}\right\rangle _{W}$

---

Hocam ama sadece $W$'nın değişme özelliği var. Bu sadece $W$'nın yerini değiştirebileceğimiz anlamına gelmiyor mu? Bu yüzden soruda $X$'in de değişme özelliğine sahip olmamız gerekmiyor mu diye ekledim.

---

Değişme özelliği sadece W da var lakin diğer iç çarpım özelliklerinden çıkarabilirsin diye düşünüyorum. Aslında ispata muhtaç bir özellik değil gibi. İç çarpım özelliklerine iyi bakmak gerek. İyi çalışmalar.

---

$W$ tersinir ise $\overline{W}$ tersinirdir diyebilir miyiz? bunu diyebiliyorsak ikna olcacağım :)

---

Tanim baya degismis,  ben $W$ carpim saniyordum sol taraf icin. Bu arada   $.$  yerine  \cdot daha guzel olur.  $A\cdot B$   gibi.

Answer 1

$<X,Y>_W=(W\cdot X)(\overline{W\cdot Y})$   olarak tanimlansin.

$<X,Y>_W=(W\cdot X)(\overline{W\cdot Y})=\overline{(W\cdot Y)(\overline{W\cdot X})}=\overline{<Y,X>}_W$  olur.

2. Yol

$<X,Y>_W=\overline{<Y,X>}_W$    oldugunu gostermek istiyoruz.  

Sol taraf tanim geregi

$<X,Y>_W=(W\cdot X)(\overline{W\cdot Y})$

Sag taraf  tanimdan dolayi

$\overline{<Y,X>}_W=\overline{(W\cdot Y)(\overline{W\cdot X})}=(W\cdot X)(\overline{W\cdot Y})$  olur. 

Sag tarafflar esit ise sol taraflar da esittir