İki topolojinin kıyaslanabilirliği

Question

Teorem: $(X,\tau_1),(X,\tau_2)$  topolojik uzaylar, $\mathcal{B_1}, \,\ \tau_1$  için baz ve  $\mathcal{B_2}, \,\ \tau_2$  için baz olmak üzere

$$\tau_1\subseteq\tau_2\Leftrightarrow\left[x\in B_1\in\mathcal{B_1}\Rightarrow(\exists B_2\in\mathcal{B_2})(x\in B_2\subseteq B_1)\right]$$

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Yukarıdaki teoreme dayanarak $\mathbb{R}$'de tanımlı aşağıdaki iki topolojiyi kıyaslayınız.

$\tau_1=\{A | x\in A\Rightarrow\big[|x|\big]\in A\}$

$\tau_2=\{A| x\in A\Rightarrow|x|\in A\}$

Answer 1

$\mathcal{B_1}=\tau_1$  ve  $\mathcal{B_2}=\tau_2$  alalım.

• $x\in B_1\in\mathcal{B_1}$ olsun.  $(x<0)$
$x\in \{x,\big[|x|\big]\}\cup\{B_1\}\in \mathcal{B_1}\Rightarrow x\in B_2:=\{{x,-x}\}\cup\{B_2\}$  olduğundan $x\in\mathcal{B_2}\subseteq\mathcal{B_1}$  olacak şekilde  $\exists B_2\in\mathcal{B_2}$  tanımlanamaz. 

O halde $\tau_1\nsubseteq\tau_2$

• Benzer şekilde;
$x\in B_2\in\mathcal{B_2}$ olsun.   $(x<0)$  $x\in\{{x,-x}\}\cup\{B_2\}\in\mathcal{B_2}\Rightarrow x\in B_1:=\{x,\big[|x|\big]\}\cup\{B_2\}$  

olduğundan $x\in\mathcal{B_1}\subseteq\mathcal{B_2}$  olacak şekilde  $\exists B_1\in\mathcal{B_1}$  tanımlanamaz. 

O halde $\tau_2\nsubseteq\tau_1$

$\therefore$ $\tau_1\nsubseteq\tau_2$ ve $\tau_2\nsubseteq\tau_1$ olduğundan $\tau_1$ ve $\tau_2$ topolojileri kıyaslanamaz.

-  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -

NOT1: Eğer topolojiler $\mathbb{R^+}$da tanımlanmış olsalardı $\tau_1\subseteq\tau_2$ sağlanırdı.(Nasıl?)

NOT2: Farklı topolojilerin kıyaslanabilirliğini bu başlık altında toplayabiliriz.