$\lim\limits_{n\to\infty}(1+n+n^2)^{1/n}=1$ eşitliğini ispatlayınız.

Question

Kitaptaki çözüm yöntemi çok doğal ve formal gelmedi, yani önce cevap varmış da cevaba göre soru yazılmış gibi hissettim.

Kitaptaki çözüm şöyle:

$(1+n+n^2)^{1/n}\ge 1$  dolayısıyla $r_n+1=(1+n+n^2)^{1/n}>1$ sayısı için ;

$\lim\limits_{n\to\infty}r_n=0$   oldugunu göstermek yetiyor.

$1+n+n^2=(r_n+1)^n=\displaystyle\sum_{i=0}^n\dbinom n i (r_n)^i\ge1+\dfrac{n(n-1)(n-2)}{3!}(r_n)^3>0$


$0<r_n<\sqrt[3]{\dfrac{6(n+n^2)}{n(n-1)(n-2)}}$

Sandviç teoreminden dolayı , 

$\lim\limits_{n\to\infty}r_n=0,$           $\Box$ .

Answer 1

$lim_{n \to \infty} (n^2+n+1)^{\frac{1}{n}}=u$ diyelim ve her iki tarafın ln'nini alalım.

$lim_{n \to \infty} {\frac{ln(n^2+n+1)}{n}}=lnu$ gelir.Yerine koyarsak sonsuz Bolu sonsuz belirsizliğinden dolayı bir kere Hopital yaparsak.

$lim_{n \to \infty} {\frac{2n+1}{n^2+n+1}}=lnu$ gelir.Buradan $0=lnu$ gelir.Buradan da $u=1$ gelir.

İyi çalışmalar Anılcım.Selamlar.

Comments

Sagol ancak $n$ 'ler dizide yani dogal sayılarda tanımlı oldugundan l hopıtal alabılır mıyız? Aslında alıyoruz, ıspatını hatırlamıyorum ama .. Teşekkürler cevap için.Selamlar.

---

ilk olarak limit olmayabilir, $=u$ demek hatali olur.
ikinci olarak da l'hopital almak da hatali. 

Bu iki sorun giderilebilir hatalar. Fakat dogru ve iyi yazmak onemli. 

---

Limite u demek hatalı, limitin varlığını bilmiyoruz. Onun yerine limitin içindeki fonksiyona $y$ diyerek başlayıp sonra $lny$ nin limiti almak daha doğru bir yöntem. Sonrasında $ln$ fonksiyonu sürekli olduğu için limiti içeri alabiliriz.