Nakayama yardimci teoreminin sınırı

Question

Nakayama yardımcı teoreminin sonlu üreteçli olmayan modüllerin için doğru olmadığını örnek vererek gösteriniz.

Comments

link  yardınmcı olabilir.

link 2 yardımcı olabilir.

Answer 1

$R=\mathbb{Z}$, $M=\mathbb{Q}$ ve $I=2\mathbb{Z}$ olsun. Kolayca gösterilebilir ki sonlu sayıda tam sayı ile tüm rasyonel sayıları elde edemeyiz (neden?), yani bir $R$ modül olan $M$ sonlu üreteçli değil. Diğer taraftan $$IM=M$$ eşitliği sağlanıyor elbette, ne de olsa $M$ modülünün elemanlarını $2$'ye bölebiliriz. Şimdi $R$ halkasından bir $r$ elemanı alalım, öyle ki $r\equiv 1 (\text{mod} I)$ olsun. Bu tam olarak $r$ tamsayısının tek olması demek, özel olarak $r\neq 0$. Dolayısıyla $rM=0$ eşitliği sağlanmaz.

Answer 2

Ben de başka bir örnek vereyim.

$k$ bir cisim, $R$ de $k$ katsayılı $X$ değişkenli güç serileri olsun. $M$ modülümüz de, $R$'nin kesirler cismi olan Laurent serileri olsun. $I=(X)$ alırsak $IM=M$ olur ancak $1+I$ biçimindeki bütün elemanlar $R$'de tersinir olduğu için ve $M$ de $R$'yi içeren bir cisim olduğu için eğer $a\in I$ olursa $(1+a)M=M$ olur, $(1+a)M=0$ beklentisinin aksine.