Başlangıç noktamız
my''=-ky
diferansiyel denklemi ve y(0)=-R, y'(0)=0 başlangıç koşullarıdır. Burada y koordinatının, kütlenin denge konumundan itibaren ölçüldüğünü varsayalım. Üs işâretleri de zamana göre türevi göstermektedir.
Yukarıdaki denklem, lineer ve sabit katsayılı bir diferansiyel denklemdir. y ve ikinci türevi orantılı olduğundan, çözüm önerisi olarak,
y=A\exp \lambda t
fonksiyonunu getirebiliriz. Bu öneriyi denklemimizde yerine koyarsak, A\not =0 olduğundan sadeleştirerek ve k, m>0 olduğunu haturlayarak,
m\lambda^2=-k\Rightarrow \lambda=\pm i\sqrt{k/m}
elde edilir. Demek ki iki \lambda değeri için denklem sağlanmakta! O zaman,
y_1=A_1\exp +i\sqrt{k/m}t ve y_2=A_2\exp -i\sqrt{k/m}t
fonksiyonları, diferansiyel denklemimizin birer çözümüdür. Lineer diferansiyel denklemlerden bildiğimiz meşhuur teoreme göre, bunların doğrusal bileşimi de diferansiyel denklemimizin bir çözümüdür (Genel çözüm):
y=Ay_1+By_2=C_1\exp(+i\sqrt{k/m}t)+ C_2\exp(-i\sqrt{k/m}t)
olarak bulunur. Şimdi, başlangıç koşullarından C_1 ve C_2'yi bulmamız gerekiyor.
y(0)=-R\Rightarrow C_1+C_2=-R
y'(0)=0\Rightarrow +i\sqrt{k/m}C_1-i\sqrt{k/m}C_2=0\Rightarrow C_1=C_2=-R/2
bulunur. Herşeyi toparlarsak,
y(t)=-R\frac{\exp(+i\sqrt{k/m}t)+\exp(-i\sqrt{k/m}t)}{2}=-R\cos(\sqrt{k/m}t)
\omega=\sqrt{k/m} olduğu görülmüştür. Peki \varphi ne olan şeydir?
\cos \pi=-1 olduğunu ve kosinüs için toplam özdeşkiği hatırlanırsa, \varphi=\pi olmak üzere,
-R\cos(\sqrt{k/m}t)=R\cos(\omega t+\varphi)
yazılabilir.
Özetlersek, diferansiyel denklemin özel çözümü, \omega=\sqrt{k/m}, \varphi=\pi olmak üzere,
y(t)=R\cos(\omega t+\varphi)
şeklinde bulunur. hız ve ivme ise tanımlarında kolayca verildiği gibi bulunur:
v(t)=y'(t)=-\omega R\sin(\omega t+\varphi)
a(t)=y''(t)=-\omega^2R\cos(\omega t+\varphi).