Processing math: 21%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
984 kez görüntülendi

imageŞekildeki sistemde yayın kuvvet sabiti k, cismin kütlesi ise m'dir. Yay R kadar sıkıştırılarak serbest bırakıldığında yayın ucundaki cisim osilasyon hareketine başlıyor.

F=ma olduğundan 

kx=ma olmalı.

dx=vdt ve dv=adt olduğunu hatırlayalım. Konum vektörü olan x'i y fonksiyonu olarak yazarsak 

ky=my

diferansiyel denklemini elde ederiz. Bu diferansiyel denklem nasıl çözülür? Ortaya çıkan 

x=R\cos(\omega t+\varphi)

v=-R\omega\sin(\omega t+\varphi)

a=-R\omega^2\cos(\omega t+\varphi)

formüllerinin nereden geldiğini açıklayalım.

Lisans Teorik Fizik kategorisinde (2.9k puan) tarafından  | 984 kez görüntülendi

1 cevap

2 beğenilme 0 beğenilmeme

Başlangıç noktamız

my''=-ky

diferansiyel denklemi ve y(0)=-R, y'(0)=0 başlangıç koşullarıdır. Burada y koordinatının, kütlenin denge konumundan itibaren ölçüldüğünü varsayalım. Üs işâretleri de zamana göre türevi göstermektedir.

Yukarıdaki denklem, lineer ve sabit katsayılı bir diferansiyel denklemdir. y ve ikinci türevi orantılı olduğundan, çözüm önerisi olarak,

y=A\exp \lambda t

fonksiyonunu getirebiliriz. Bu öneriyi denklemimizde yerine koyarsak, A\not =0 olduğundan sadeleştirerek ve k, m>0 olduğunu haturlayarak,

m\lambda^2=-k\Rightarrow \lambda=\pm i\sqrt{k/m}

elde edilir. Demek ki iki \lambda değeri için denklem sağlanmakta! O zaman,

y_1=A_1\exp +i\sqrt{k/m}t ve y_2=A_2\exp -i\sqrt{k/m}t

fonksiyonları, diferansiyel denklemimizin birer çözümüdür. Lineer diferansiyel denklemlerden bildiğimiz meşhuur teoreme göre, bunların doğrusal bileşimi de diferansiyel denklemimizin bir çözümüdür (Genel çözüm):

y=Ay_1+By_2=C_1\exp(+i\sqrt{k/m}t)+ C_2\exp(-i\sqrt{k/m}t)

olarak bulunur. Şimdi, başlangıç koşullarından C_1 ve C_2'yi bulmamız gerekiyor. 

y(0)=-R\Rightarrow C_1+C_2=-R

y'(0)=0\Rightarrow +i\sqrt{k/m}C_1-i\sqrt{k/m}C_2=0\Rightarrow C_1=C_2=-R/2

bulunur. Herşeyi toparlarsak,

y(t)=-R\frac{\exp(+i\sqrt{k/m}t)+\exp(-i\sqrt{k/m}t)}{2}=-R\cos(\sqrt{k/m}t)

\omega=\sqrt{k/m} olduğu görülmüştür. Peki \varphi ne olan şeydir?

\cos \pi=-1 olduğunu ve kosinüs için toplam özdeşkiği hatırlanırsa, \varphi=\pi olmak üzere,

-R\cos(\sqrt{k/m}t)=R\cos(\omega t+\varphi) 

yazılabilir. 

Özetlersek, diferansiyel denklemin özel çözümü, \omega=\sqrt{k/m}, \varphi=\pi olmak üzere,

y(t)=R\cos(\omega t+\varphi)

şeklinde bulunur. hız ve ivme ise tanımlarında kolayca verildiği gibi bulunur:

v(t)=y'(t)=-\omega R\sin(\omega t+\varphi)

a(t)=y''(t)=-\omega^2R\cos(\omega t+\varphi).

(1.4k puan) tarafından 
20,333 soru
21,889 cevap
73,624 yorum
3,094,931 kullanıcı