Öncelikle Çözülebilir Grup Nasıl olur onu tanımlayalım.
Tanım 1 : $G$ bir grup ve $G$ 'nin altpruplarının
$G=G_1 \unlhd G_2 \unlhd G_3 \unlhd \ . . . . \unlhd G_n \unlhd G_{n-1}= \{ id \} $
serisini göz önüne alalım. $1\leq i\leq n$ olmak üzere $G_{i-1} , G_i$ nin normal altgrubu ise bu seriye altnormal grup denir.
Tanım 2 : Bir $G$ grubu $1\leq i \leq n$ için $G_i \diagup G_{i-1}$ abelyan olacak şekilde
$G=G_1 \unlhd G_2 \unlhd G_3 \unlhd \ . . . . \unlhd G_n \unlhd G_{n-1}= \{id \}$ sonlu altnormal serisine sahipse bu gruba $çözülebilir$ grup denir.
Soru : $p$ ve $q$ farklı asal sayılar olmak üzere $p^2 q$ ve $ pq$ mertebeli bütün $G$ grupları çözülebilirdir ?
Uğraşım : $pq$ için : $p<q$ ve $G$ ' nin mertebesi $|G|=pq$ . Bu durumda |G| nin mertebesi $q$ olan yanlız bir altgrup var. q. mertebeden bu alt grup $G $ 'de normal . Bu derecesi $q$ olan gruba $H$ diyelim $H \unlhd G$. $|G\diagup H|=p $ olup $G\diagup H$ değişmelidir.$H$ 'da değişmeli Bu yuzden $G $ bölüm grupları abelyan olan altnormal seriye sahip oldugundan çözülebilirdir.
Ancak ilki karışık geldi