Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
618 kez görüntülendi

$G$ sonlu bir abel grup olsun öyle ki $|G|=n$.

O zaman $n$'nin her pozitif tam sayı böleni $d$ için $G$ 'nin mertebesi $d$ olan bir $H$ altgrubu vardır.

Lisans Matematik kategorisinde (68 puan) tarafından  | 618 kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
G devirli grup oldugundan G=<x> şeklinde yazabiliriz. kabul gereği |G|=n ve o(x)=n dir. x üzeri n/d elemanının mertebesi d olup G nin D mertebeli devirli alt grubu vardır. bu grubu H=x üzeri n/d ile gösterelim.amacımız H nin d mertebeli tek bir alt grup oldugunu göstermek. o halde K gibi d mertebei bir alt grubu alalım. amacımız K=H. K nın devirli oldugunu biliyoruz. K=<x üzeri t>  (t eleman Z). K nın üreteci x in bir kuvveti oldugundan o(x üzeri t)=d . buradan o(x)=n oldugundan n tam böler dt elde edilir ki dt=qn (q eleman Z) oldugu görülür. t=(n/d)q ise x üzeri t=(x üzeri n/d) üzeri q. bu ise x üzeri t elemanının <x üzeri n/d> ye ait olacagını yani x üzeri t eleman H gerçeğini verir. H grup oldugundan <x üzeri t> Hın alt grubu yani K, Hın alt grubu olur. ikisi de G nin alt grubu oldugundan H=K gerçeğini verir.
(27 puan) tarafından 

Sahibinin yaptigi seylerden bahsetmedigi sorulara hemen yanit vermeyelim.

G neden devirli?

$G=\mathbb{Z_2} \times \mathbb{Z_2}$ olsun. Sonlu, abel ama devirli değil.

tam bilemiyorum ama bu teoremi kitapta gördüm oradan yazdım. 

bahsettiğini düşündüğüm için cevap verdim zaten.

20,248 soru
21,774 cevap
73,422 yorum
2,151,695 kullanıcı