Seriler yakınsıyorsa, genel terim $>0$ bir sayıya yakınsayabilir mi? Çürütünüz.

Question

Yanlış Sav diyor ki;


Bir serimiz var $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$   diye ve bu seri yakınsıyor;

$u\in\mathbb R\quad\to\quad \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n=u$  ise;

$\lim\limits_{n\to\infty}a_n>0$ olabilir mi?

Neden olamayacağını farklı metodlarla gösterelim;

1.metod :

Genel terim olan  $a_n$ ,$x\in[0,\infty)$'de monoton azalan bir fonksiyon olsun.

$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\ell >0$  olsun;

Dolayısıyıla bunun anlamı, $\forall a_n\ge \ell$

Toplamsal serimiz  $\lim\limits_{m\to\infty}\displaystyle\sum_{n=1}^m a_n=\underbrace{\underbrace{a_1}_{>\ell}+\underbrace{a_2}_{>\ell}+.....+\underbrace{a_n}_{>\ell}+.......+........}_{m\;tane}\to... \ell$  olduğundan


$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n>\lim\limits_{m\to\infty}(m.\ell)=\infty.\ell=\infty$

Çürütülür, bu seri ıraksaktır.(moton azalan için ıraksıyorsa monoton artan ve diğer seriler için de ıraksar)$\Box$

Comments

method 1'i nasil ispatladiginizi icerige ekleyebilir misiniz?

---

ekledım             

---

$=\infty\cdot L$ ne demek oluyor? 

---

hocam bir reel sayı ile sonsuz sembolünü çarptığımızda sonsuz oluyordu, neden boyle oluyor sorayım siteye.

---

http://www.vitutor.com/calculus/limits/properties_infinity.html

http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcI/TypesOfInfinity.aspx

https://www.quora.com/What-is-any-number-raise-to-the-power-of-infinity-What-is-any-number-divided-by-infinity

bu da ilgili biraz.http://math.stackexchange.com/questions/28940/why-is-infinity-multiplied-by-zero-not-an-easy-zero-answer

---

sonsuzla aritmetik yapilmamasindan yanayim.

---

yapmak zorunda olsaydınız?