Basit analiz ispatları,mutlak değer.

Question

Mutlak değer tanımı;


$\boxed{Tanım:}$

$|x|\in\mathbb R$

$|x|=max\{x,-x\}$

 
İspatlanacak olan sorular:

$\boxed{i:}\quad |x|\ge 0$

$\boxed{ii:}\quad |x|=0 \;\Leftrightarrow\; x=0$

$\boxed{iii:}\quad |x|=|-x|$

$\boxed{iv:}\quad x\ge0 $  ise  $|x|=x$   ve   $x<0$  ise  $|x|=-x$

$\boxed{v:}\quad |xy|=|x||y|$

$\boxed{vi:}\quad |y|\le x\;\Leftrightarrow\; -x\le y\le x$

$\boxed{vii:}\;\; -|x|\le x\le |x|$
 
$\boxed{viii:}$(Üçgen Eşitsizliği) $|x+y|\le |x|+|y|$

$\boxed{ix:}\quad |x-y|\ge||x|-|y||$

$\boxed{x:}\quad |y-a|<x\;\;\;\Leftrightarrow \;\;\; (a-x)<y<(a+x)$

Answer 1

İlk olarak $x\in\mathbb R$ için tanım gereği;

$|x|=\max\{x,-x\}$ olur;


$\boxed{\boxed{i :}---------------------------}$

$|x|=\max\{x,-x\}$   dolayısıyla $|x|$ için $2$ seçenekten $2$si de negativ veya pozitiv olamaz ve biri pozitiv öbürü negativse , $|x|\ge 0$ çünki , pozitiv sayılar negativlerden "büyük"tür.

$\boxed{\boxed{ii :}---------------------------}$

$x=0$ için;

$|x|=\max\{0,0\}$  yani $0\le x \le 0$   dolayısıyla $x=0$

$\boxed{\boxed{iii :}---------------------------}$

Tanım gereği barizdir ,şöyle ki;

$|x|=\max\{x,-x\}$   ve   $|-x|=\max\{x,-x\}$   eştir.

$\boxed{\boxed{iv :}---------------------------}$

Her $x$ reel'i için öyle  $a$ pozitiv reel sayısını alalım ki ,

Negativ $x$ reel sayıları için $x=-a$; olur dolayısıyla ;

$|x|=\max\{a,-a\}=a=-x$

Pozitiv $x$ reel sayıları için $x=a$; olur dolayısıyla;

$|x|=\max\{a,-a\}=a=x$

$\boxed{\boxed{v :}---------------------------}$

$2$ sayının her $2$si de negativ veya pozitivse zaten barizdir çünki;

$a,b\in\mathbb R^+$

$ab=(-1)(-1)ab=(-1)a(-1)b=(-a)(-b)$

$\boxed{iv}$ özelliğinden dolayı , eğer $xy$ negativse $x$ veya $y$ lerden biri negativdir,

ve gene $\boxed{iv}$ özelliğinden dolayı $|x|$ veya $|y|$ lerden biri de $-x$ veya $-y$ olur.


Dolayısıyla, $a\in\mathbb R^+$ için $|xy|=xy=a$  ve  $|x||y|=-xy=-(-a)=a$  olur. $\Box$

$\boxed{\boxed{vi :}---------------------------}$

İlk önce; $x\ge y$  ise  $-x\le -y$ oldugunu ispat edelim;

$x\ge y$  ise  hertarafa $-x-y$ ekleyelim;

$x-x-y\ge y-y-x\quad \boxed{\to} \quad -y\ge -x$

Şimdi mutlak degerın tanımı gereği $|y|\le x$ ise , $x\ge 0$ dır ve buna göre 2 ihtimalimiz var;

1. İhtimal   $y\ge 0$ iken ;

$|y|=y$  olur ve  $|y|=y\le x$      olur .   $\clubsuit$ 

2. İhtimal   $y<0$ iken;

$|y|=-y$  olur ve  $|y|=-y\le x$  ve yukardaki son ispata göre $y\ge -x$  dir;  $\spadesuit$

$\spadesuit $   ve    $\clubsuit$  birleşirse;

$|y|\le x \quad \Leftrightarrow \quad -x\le y \le x$      .          $\Box$


$\boxed{\boxed{vii :}---------------------------}$

Tanımdan dolayı;

$|x|=\max\{x,-x\}\ge x$;

ve aynı mantıkla veya $\boxed{vi}$'den dolayı;

$-|x|=-\max\{x,-x\}\le x$

$|x|\ge x \ge -|x|$

$\boxed{\boxed{viii :}---------------------------}$

$|x|=\max\{x,-x\}$  olduğundan

$|x|=\max\{x,-x\}\ge x$

$|x|=\max\{x,-x\}\ge -x\quad \to\quad x\ge -|x|$

Birleştirirsek;

$|x|\ge x\ge -|x|$   olur ve bir $y$ için daha bunu yapalım;


$|y|\ge y\ge -|y|$   , ve sıralı toplayalım;


$|x|+|y|\ge x+y \ge -(|x|+|y|)$  bu da yukardaki bildiğimiz şeylerin 3.sünden dolayı;

$||x|+|y||\ge |x+y|$ ,  $||x|+|y||$  bu herzaman zaten pozitivdir dolayısıyla;

$\star ||x|+|y||\ge |x+y|\quad\equiv\quad |x|+|y|\ge |x+y|$       $\Box$


$\boxed{\boxed{iv :}---------------------------}$

$\boxed{viii}$'den dolayı

$|x|=|x-y+y|\le |x-y|+|y|$

$|x|-|y|\le |x-y|$   $\clubsuit$

ve dolayısıyla;

$|y|-|x|\le|y-x|=|x-y|$    başka bir ifadeyle;


$|x|-|y|\ge -|x-y|$   olur.       $\spadesuit$;



$\clubsuit$   ve   $\spadesuit$  sonuçları birleşirse;

$\star\star \boxed{\boxed{|x-y|\ge |x|-|y|\ge -|x-y|\quad\Rightarrow\quad |x-y|\ge||x|-|y||}}$

$\boxed{\boxed{x :}---------------------------}$

$\boxed{vi}$'deki genel ispattan $x = y$ özelliğini çıkarırsak;

$|y|\le x\quad \Leftrightarrow \quad -x\le y \le x$ durumu çıkar , $y=u-a$ dersek;

$|u-a|\le x\quad \Leftrightarrow \quad -x\le u-a \le x \quad \Leftrightarrow \quad a-x\le u \le a+x$   $\Box$