Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
973 kez görüntülendi

İlk defa soru soruyorum yanlış bir şey yaptıysam özür dilerim.


$\sum_{k=1}^{44}\frac{1}{cosk.cos(k+1)}=?$

Lisans Matematik kategorisinde (11.1k puan) tarafından 
tarafından yeniden kategorilendirildi | 973 kez görüntülendi

Rica etsem sorunuzu \sum_{k=1}^{44}\frac{1}{cosk.cos(k+1)}=? şeklinde yazıp iki tane dolar işareti içine alır mısınız? Bunu yaptığınız taktirde sorunuz $$\sum_{k=1}^{44}\frac{1}{cosk.cos(k+1)}=?$$ şeklinde görünecektir.

Ozure gerek yok, biraz ugrasarak ve yardim isteyerek kolaylikla ogrenirsin.

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

Önce şöyle başlamak istiyorum:

$tan(k+1)-tan(k)$=$\frac{sin(k+1)}{cos(k+1)}$-$\frac{sin(k)}{cos(k)}$=$\frac{sin(k+1)cos(k)-sin(k)cos(k+1)}{cos(k)cos(k+1)}$=$\frac{sin(k+1-k)}{cos(k)cos(k+1)}$

Dolayısıyla     $\frac{1}{cos(k)cos(k+1)}$=$\frac{tan(k+1)-tan(k)}{sin(1)}$    yazabiliriz.

$=>$ $\sum_{k=1}^{44}\frac{1}{cos(k).cos(k+1)}$=$\sum_{k=1}^{44}\frac{tan(k+1)-tan(k)}{sin(1)}$=${\frac{1}{sin(1)}}\sum_{k=1}^{44}[tan(k+1)-tan(k)]$

$=>$ $\sum_{k=1}^{44}\frac{tan(k+1)-tan(k)}{sin(1)}$=${\frac{1}{sin(1)}}\sum_{k=1}^{44}[tan(k+1)-tan(k)]$=${\frac{1}{sin(1)}}.[(tan(2)-tan(1))+(tan(3)-tan(2))+...+(tan(45)-tan(44))]$=${\frac{1}{sin(1)}}.[tan(45)-tan(1)]$=${\frac{1}{sin(1)}}.[1-tan(1)]$=${\frac{1}{sin(1)}}.[1-{\frac{sin(1)}{cos(1)}}]$=${\frac{1}{sin(1)}}-{\frac{1}{cos(1)}}$   

Yani  ,    $\sum_{k=1}^{44}\frac{1}{cos(k).cos(k+1)}$=$({\frac{1}{sin(1)}}-{\frac{1}{cos(1)}})$     olur.

Benim aklıma gelen bu. Daha güzel bi çözüm varsa ben de merakla bekliyorum..

(470 puan) tarafından 
tarafından seçilmiş

    Büyük ihtimalle, en kısa ve basit çözüm budur. Teleskopik Formül kullanılarak, bu ve bir çok başka ilginç problemlerin çözümü için, ilgilenenler "Matematik Dünyası, 2010-II" 'de yayınlanmış olan "Teleskopik Formül ve Uygulamaları" isimli yazıya bakabilirler.
    (Bu arada, ne olur-ne olmaz, tan45'i bu şekilde bırakınız. Çünkü, 45'in derece olup olmadığı problemden anlaşılmıyor).

20,205 soru
21,729 cevap
73,289 yorum
1,890,802 kullanıcı