Toplam Sembolü

Question

İlk defa soru soruyorum yanlış bir şey yaptıysam özür dilerim.

$\sum_{k=1}^{44}\frac{1}{cosk.cos(k+1)}=?$

Comments

Rica etsem sorunuzu \sum_{k=1}^{44}\frac{1}{cosk.cos(k+1)}=? şeklinde yazıp iki tane dolar işareti içine alır mısınız? Bunu yaptığınız taktirde sorunuz $$\sum_{k=1}^{44}\frac{1}{cosk.cos(k+1)}=?$$ şeklinde görünecektir.

---

Ozure gerek yok, biraz ugrasarak ve yardim isteyerek kolaylikla ogrenirsin.

Answer 1

Önce şöyle başlamak istiyorum:

$tan(k+1)-tan(k)$=$\frac{sin(k+1)}{cos(k+1)}$-$\frac{sin(k)}{cos(k)}$=$\frac{sin(k+1)cos(k)-sin(k)cos(k+1)}{cos(k)cos(k+1)}$=$\frac{sin(k+1-k)}{cos(k)cos(k+1)}$

Dolayısıyla     $\frac{1}{cos(k)cos(k+1)}$=$\frac{tan(k+1)-tan(k)}{sin(1)}$    yazabiliriz.

$=>$ $\sum_{k=1}^{44}\frac{1}{cos(k).cos(k+1)}$=$\sum_{k=1}^{44}\frac{tan(k+1)-tan(k)}{sin(1)}$=${\frac{1}{sin(1)}}\sum_{k=1}^{44}[tan(k+1)-tan(k)]$

$=>$ $\sum_{k=1}^{44}\frac{tan(k+1)-tan(k)}{sin(1)}$=${\frac{1}{sin(1)}}\sum_{k=1}^{44}[tan(k+1)-tan(k)]$=${\frac{1}{sin(1)}}.[(tan(2)-tan(1))+(tan(3)-tan(2))+...+(tan(45)-tan(44))]$=${\frac{1}{sin(1)}}.[tan(45)-tan(1)]$=${\frac{1}{sin(1)}}.[1-tan(1)]$=${\frac{1}{sin(1)}}.[1-{\frac{sin(1)}{cos(1)}}]$=${\frac{1}{sin(1)}}-{\frac{1}{cos(1)}}$   

Yani  ,    $\sum_{k=1}^{44}\frac{1}{cos(k).cos(k+1)}$=$({\frac{1}{sin(1)}}-{\frac{1}{cos(1)}})$     olur.

Benim aklıma gelen bu. Daha güzel bi çözüm varsa ben de merakla bekliyorum..

Comments

    Büyük ihtimalle, en kısa ve basit çözüm budur. Teleskopik Formül kullanılarak, bu ve bir çok başka ilginç problemlerin çözümü için, ilgilenenler "Matematik Dünyası, 2010-II" 'de yayınlanmış olan "Teleskopik Formül ve Uygulamaları" isimli yazıya bakabilirler.
    (Bu arada, ne olur-ne olmaz, tan45'i bu şekilde bırakınız. Çünkü, 45'in derece olup olmadığı problemden anlaşılmıyor).