Çift katlı kök hakkında bir soru

Question

Normalde örneğin:

$x^2-4=0$ denildiğinde $x=+-2$ olarak bulunuyor ve $(x-4)^2=0$ denildiğinde $x=4$(çift kat kök) olarak bulunuyor.

Fakat $x^2=0$ ifadesindeki $x=0$ çift katlı mıdır tek katlı mıdır?Yani normalde ''$+-$sayı'' denilir fakat $0$ ne pozitif ne negatif olacağından $+-0$ ifadesi çift katlı mı olur? Eşitsizlik sorularını çözerken karşılaşılabiliyor,sormak istedim.

Comments

En dar anlamada $ax^2+bx+c=0$ denkleminde $b^2-4ac=0$ ise çift kat kök var diyoruz. Çift kat kök olması demek köklerin çakışık olması,yani köklerin eşit olması demektir. Dolayısıyla çift kat kökler aynı sayılar olup aynı işarete ya da işaretsizliğe sahiplerdir. $x^2=0\Rightarrow |x|=0\Rightarrow x=0$ dır. Çift kat kökler için $\pm$ kullanılmaz zaten. Çünkü iki sayı aynı.

Answer 1

Çift kökün anlamı aslında şöyle, bir eşitsizlik sistemin var diyelim;


$a_j\; \in\mathbb Z^+,\quad i_n\;\in\mathbb R$

$(x-i_1)^{a_1}(x-i_2)^{a_2}.........(x-i_n)^{a_3}\le0$

veya

$(x-i_1)^{a_1}(x-i_2)^{a_2}.........(x-i_n)^{a_3}\ge0$

farketmez, hatta kafa karışmasın diye spesifik takılalım,


$(x-a)(x-b)^2(x-c)^3\le0$

Burada $a\neq b\neq c$   olsun, $b$ köküne neden çift kat deriz? çünki eşitsizliğe bir etkisi yoktur...

hadi anlayalım diye biraz daha spesifik olsun,

$(x+3)(x-2)^2(x-7)^3\le0$


Hemen bir tablo yap ,  $-3$    ,    $2$    ,    $7$    diye

Tabloyu yaparken şuna bakıyorsun, eşitsizlik $x>7$ için ne oluyor?  Her taraf pozitiv oluyor dolayısıyla  $7$'nin sağından + olarak başlıyorsun, peki $7>x>2$ iken ne oluyor?

$(x+3)$ pozitiv, $(x-2)^2$  de pozitiv ama $(x-7)^3$ negativ, çarp 3 terimi, al sana negativ

Geldik sorunlu yere, peki  $2>x>-3$  olursa ne oluyor?

$(x+3)$ pozitiv, $(x-2)^2$  'de pozitiv çünki herzaman pozitiv, çift kuvvetli üssü var, $(x-7)^3$ hala negativ, gene negativ oldu dolayısıyla kök 2 yi geçsek bile işaret geçmedi ,buradaki çift kat bunu anlatıyor.

bunları biliyorsundur ama bir özet geçeyim dedim.

Comments

Çok güzel bir cevap olmuş, gayet iyi anladım teşekkür ederim.

---

Bu arada çift kat kök derken $(x-a)^{2n}=0$ eşitliğinden elde edilen kökten bahsediliyor Baykuş. Yani anlayacağın üst 2 nin katı olacak. Çift kat kökler eşitsizliği etkilemezler ama eşitliği ve özellikle paydada olduklarında çözüm kümesini etkilerler. Paydaki çift katlar büyük-küçük eşit durumlarında çözüme dahil edilirler; paydadaki çift katların kökleri (elbette paydadaki diğer kökler) $0$ a bölme oluşturduğundan çözüme dahil edilmezler.

---

ben cevabı hala anlamadim x kare çift kök mu