Bu durumu sağlayan x , y , z sayılarını söyleyebilir misiniz acaba

Question

$x,y,z\neq 0$ ,   $x+y+z=1$ , $x^2+y^2+z^2=1$ ,  $x^3+y^3+z^3=1$ Chaucy schwarz eşitsizliği ile bir alakası ola bilir mi acaba sorunun

Comments

Sitede benzer bir soru vardı diye hatırlıyorum.

---

$x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+xz+yz)$ olduğunu biliyoruz. Buradan verilerinize göre 

$xy+xz+yz=0$ olmalı. $x^3+y^3+z^3=1$ eşitliğini kullanabilmek için genel açılımı bilmeliyiz; yani

$x^n+y^n+z^n$ açılımını. Geometrik bakış açısıyla ilk iki denklemin ortak çözümü orijinden geçen bir düzlemle birim kürenin arakesit kümesini ifade ediyor ki bu büyük çembere karşılık gelir. Üçüncü eşitlik de bir yüzey ama ismi var mı bilmiyorum.

---

@Murad, bu sorudan bahsediyor olabilir.

Answer 1

alpercay ın da belirttiği gibi: $xy+yz+xz=0$ olur.

Ayrıca $3xyz=(xy+yz+zx)(x+y+z)-(x+y+z)(x^2+y^2+z^2)+(x^3+y^3+z^3)$ dir. (Bunlara Newton Özdeşlikleri deniyor) 

Buradan $xyz=0$ elde edilir.

Kökleri $x,y,z$  olan 3. derece polinomu düşünelim. Bu polinom (kök-katsayı bağıntılarından)

$t^3-1\cdot t^2+0\cdot t-0=t^3-t^2$ olur.

Bunun da, (karmaşık sayılar kullansak bile) 0 ve 1 den başka  kökü yoktur.

Öyleyse $x,y,z$ sayıları, bu üç denklemi de sağlıyor ise  onlardan biri 1, diğerleri 0 olmak zorundadır.

Comments

Soruda icerik yok, yorumlara da geri donus olmamis.

---

Teşekkür ederim

---

Genel açılım

$x^n+y^n+z^n=(x+y+z)(x^{n-1}+y^{n-1}+z^{n-1})-(xy+xz+yz)(x^{n-2}+y^{n-2}+z^{n-2})+(x+y+z)(x^{n-3}+y^{n-3}+z^{n-3})$

şeklinde. Bunu nasıl kanıtlarız?

---

Genel formül tam böyle degil.

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Newton%27s_identities de genel formül var.

---

ilgili sanırım

http://matkafasi.com/69572/binomal-teoreme-yaklasim-1-soru-degildir

http://matkafasi.com/16594/eger-%24x-y-0%24-ise-frac-x-2-y-2-z-times-frac-y-z-5-5-frac-x-7-y-7-z-7-7-%24-olur

---

Daha önceden de :$xyz=0$ dan da en az birinin 0 olduğu görülüyor.