http://matkafasi.com/16594/eger-%24x-y-0%24-ise-frac-x-2-y-2-z-times-frac-y-z-5-5-frac-x-7-y-7-z-7-7-%24-olur
burdaki teoreme ve cevabıma ek birşey paylaşmak istiyorum bu bir soru değildir.
Soru gibi sorup, cevabını kimse vermemesini bekleyip cevaplamak isterdim ama bu soruyu anlatamayacağımdan direk paylaşıyorum.
$x+y+z=0$ için
$x+y=-z$
$x+z=-y$
$y+z=-x$
yazabiliriz.(sanırım)
$x+y=-z$ için işlersek
$(x+y)^3=-z^3=x^3+y^3+3xy(x+y)$
olur $x+y=-z$ den dolayı
$x^3+y^3+z^3=3xyz$
olur ve $x^5+y^5+z^5=-5x^2y^2z$ olur ve devam ettikçe şöyle eşitlikler oluşur.
$n\in\mathbb{N^{+}}$
.......................................................
$x+y=-z$ için;
$x^{2n+1}+y^{2n+1}+z^{2n+1}=(-1)^{n+1}.(2n+1)(x^n.y^n.z)$
.......................................................
$x+z=-y$ için;
$x^{2n+1}n+y^{2n+1}+z^{2n+1}=(-1)^{n+1}.(2n+1)(x^n.y.z^n)$
.......................................................
$y+z=-x$ için;
$x^{2n+1}+y^{2n+1}+z^{2n+1}=(-1)^{n+1}.(2n+1)(x.y^n.z^n)$
.......................................................
toplarsak şöyle genel birşey çıkıyor
$\forall x,y,z$ : $x+y+z=0$
$3(x^{2n+1}+y^{2n+1}+z^{2n+1})=(-1)^{n+1}.(2n+1)[x^n.y^n.z+x^n.y.z^n+x.y^n.z^n]$
Ve
$3(x^{2n+1}+y^{2n+1}+z^{2n+1})=(-1)^{n+1}.(2n+1)(x.y.z)[x^{n-1}.y^{n-1}+x^{n-1}.z^{n-1}+y^{n-1}.z^{n-1}]$
attığım linkteki yapamadığım şeyi de böylece yapmış olduk ve dahada genişleterek birçok eşitlik yaratabiliriz bu denklemlerden.