Question

Sup yada inf kümeye ait değilse bir yığılma noktasıdır. nasıl açıklayabiliriz ?

Comments

$S \ne \emptyset$ olsun. $\sup S=s$  olsun. Her $\epsilon>0$ icin oyle bir $x_\epsilon\in S$ vardir ki $s-x_\epsilon<\epsilon$ olur. 

Ilk olarak bunu ispatla(yabilirsin). Daha sonra bu epsilon tanimi(!, tanim olarak da kullanilabiliyor bu) yigilma noktasi ile iliskilendir. 

$s\not\in S$  olmasi $x_\epsilon$'larin $s$'den farkli olmasi gerektigini soyler. 

Answer 1

Teoremi formel olarak şöyle yazabiliriz:

Teorem: $\emptyset\neq S\subseteq\mathbb{R}$ olmak üzere

$$(\sup S=s)(s\notin S)\Rightarrow s\in D(S).$$

Not: $D(S):=\{x|x, S\text{'nin yığılma noktası}\}=\{x|(\forall \epsilon>0)(B(x,\epsilon)\cap (S\setminus\{x\})\neq\emptyset)\}$

İspat: $\sup S=s$ ve $s\notin S$ olsun.

$\sup S=s\Rightarrow(\forall\epsilon>0)(\exists s_0\in S)(s-\epsilon<s_0<s<s+\epsilon)$

                      $\Rightarrow (\forall\epsilon>0)(\exists s_0\in S)(|s-s_0|<\epsilon)$

                      $\left. \begin{array}{r} \Rightarrow (\forall\epsilon>0)(\exists s_0\in S)(s_0\in B(s,\epsilon)) \\ s\notin S \end{array} \right\}\Rightarrow$

                       $\Rightarrow (\forall\epsilon>0)(\exists s_0\in S)(s_0\in B(s,\epsilon)\cap (S\setminus\{s\}))$

                       $\Rightarrow (\forall\epsilon>0)(B(s,\epsilon)\cap (S\setminus\{s\})\neq\emptyset)$

$\Rightarrow s\in D(S).$

Comments

İnfimum için de benzer şekilde gösterilebilir. Bu kısmını sana bırakıyorum.

---

aciklamasi ve geri donusu olmayan sorulara cevap vermemeye ozen gosterelim.