Fonksiyonel Denklem

Question

$f(1)=3$  olmak üzere $(f(x))^{2}=f(2x)+2f(x)-2$ eşitliğini sağlayan  $f$ fonksiyonlarını bulunuz.

Farklı çözüm var mı sormak istedim. Teşekkürler.

Comments

http://matkafasi.com/29444/begin-align-right-right-left-right-right-align-olduguna-kactir#a94378

De farklı bir cevap yazmıştım.

Ona benzer başka fonksiyonlar da oluşturulabilir.

---

Hocam $4^{x}+1$  ozdesligi saglar ama $f(1)=3$ de 

saglanmali.

---

f(1)=3 olması için $4^x+1$ yerine $2^x+1$ yazin. Galiba diğer çözümde de öyle olmalı.

Ek:

Orada da düzelttim.

Answer 1

$f(x)=\begin{cases}2^x+1, \ x=2^m\ (m\in\mathbb{Z})\\1,\quad \textrm{diğer durumlarda}\end{cases}$

Benzer pek çok fonksiyon daha oluşturulabilir.

Ek

Daha genel olarak:

$A\subseteq\mathbb{R}$ şu özelliğe sahip olsun

$1\in A$ ve her $x\in A$ için $2x$ ve $\frac12 x$ de $A$ nın elemanıdır.

O zaman

$f(x)=\begin{cases}2^x+1,\ x\in A\\ 1,\quad x\notin A\end{cases}$ böyle bir fonksiyondur.

Bunun nedeni:

$g(x)\begin{cases}2^x,\ x\in A\\ 0,\quad x\notin A\end{cases}$ fonksiyonu için:

$g(2x)=(g(x))^2$ ve $g(1)=2$ olur. $f(x)=g(x)+1$ aranan özelliklere sahiptir.

Comments

Hocam, verilen eşitlik, $f(x+y)=f(x).f(y)-[f(x)+f(y)]+2$   eşitliğinde $y=x$ konulmasıyla elde ediliyormuş.

---

Verilen denklem, bir $f(x)$  değeri bilinince, $f(2x)$ ve $f(\frac12x)$ i bulmaya yarıyor.

$f(1)=f(2^0)$ da verildiği için (sırayla) $f(2^1),f(2^2),\ldots,f(2^n)\ (n\in\mathbb{N})$ belirlenmiş oluyor.

Diğer yöne giderek de $f(\frac12)=f(2^{-1}),f(2^{-2}),\ldots,f(2^{-n}) \ (n\in\mathbb{N})$ belirlenmiş oluyor.

Ama diğer sayılarda $f$ nin değerini belirlemeye yetmiyor. Diğer sayılar için $f(x)=1$ alırsak denklem sağlanmış oluyor.