Question

Dedekind kesimleri ile pi sayısı nasıl tanımlanır?

Answer 1

Tanım: Rasyonel sayılar kümesinin boş olmayan bir öz alt kümesi, eğer içerdiği her elemandan (kesin olarak) daha küçüğünü de içeriyorsa ve maksimumu yoksa bu kümeye bir kesim denir. Formel olarak

$$\alpha \,\ \text{kesim}$$

$$:\Leftrightarrow $$

$$1) \,\ \emptyset\neq\alpha \subsetneq \mathbb{Q}$$

$$2) \,\ (x\in \alpha)(y<x)\Rightarrow y\in \alpha $$

$$3) \,\ \max \alpha \notin \mathbb{Q} $$ şeklinde ifade edebiliriz.

Örnek 1: Bir rasyonel sayıdan küçük rasyonel sayıların oluşturduğu küme bir kesimdir. $r\in \mathbb{Q}$ olmak üzere

$$\alpha_r=\{x\mid x<r, x\in \mathbb{Q}\}$$

kümesi bir kesimdir.

Örnek 2: 

$$\alpha=\mathbb{Q}^-\cup \{0\}\cup\{x\mid x\in \mathbb{Q}^+, x^2<3\} $$

kümesi de bir kesimdir. 

Tanım: Her kesime bir gerçel sayı denir. Örnek 2'deki kesim $\sqrt{3}$ sayısıdır. 

O halde tüm bu bilgiler ışığı altında $\pi$ sayısını Dedekind kesimi olarak şöyle ifade edebiliriz.

$$\mathbb{Q}^-\cup \{0\}\cup\left(\bigcup_{k\in \mathbb{N}}\left\{x\Big{|} x\in \mathbb{Q}^+, x^2<6\sum_{n=1}^{k}\frac{1}{n^2}\right\}\right) $$

Comments

İlham Aliyev in haklı eleştisini gözönüne alarak murat.ozkoc un güzel çözümü şöyle düzeltilebilir:

$$\alpha=\mathbb{Q}^-\cup \{0\}\cup\{x\mid x\in \mathbb{Q}^+, x^2<6\sum_{n=1}^{k}\frac{1}{n^2} \text{ olacak şekilde bir } k\in \mathbb{N} \text{ vardır}\} $$

İlham Aliyev in çözümünde de benzer fikir kullanılıyor.

---

Bu kümelerin, k=1,2,3,... olmak üzere, birleşimini alırsanız, her şey rayına oturur.

---

Gerekli düzenlemeyi yaptım. Tekrar teşekkür ederim.

Answer 2

Murad Özkoç'un $\pi $ 'ye uygun Dedekind kesimi tanımlamasında bir pürüz var: sağ taraftaki

\[6\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{2}}\] ifadesi aslında $\pi ^{2}$ dir. Halbuki, Dedekind kesimlerinin tanımında yalnız rasyoneller kullanılmalıdır. (bu sebepten dolayı, örneğin, $\sqrt{3}$ 'e uygun kesimin tanımında $x<\sqrt{3}$ değil, $x^{2}<3$ ifadesini kullanıyoruz).

$\pi $ sayısına uygun Dedekind kesimi şöyle oluşturulabilir. $\pi $ 'ye yakınsayan herhangi bir rasyonel sayı dizisi alalım, örneğin, ünlü

\[\frac{\pi }{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\] serisinden yola çıkalım. Bu serinin kısmi toplamlar dizisinin $4$ ile çarpımına $\left( a_{n}\right) $ dersek, bu dizinin

\[a_{2}=4\left( 1-\frac{1}{3}\right)\]

\[a_{4}=4\left( \left( 1-\frac{1}{3}\right) +\left( \frac{1}{5}-\frac{1}{7}\right) \right)\]

\[a_{6}=4\left( \left( 1-\frac{1}{3}\right) +\left( \frac{1}{5}-\frac{1}{7}\right) +\left( \frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right) \right)\]

vs.

alt dizisi artarak $\pi $ 'ye yakınsar. Şimdi rasyonel sayılar kümesinin aşağıdaki alt kümelerini oluşturalım.

\[Q_{2}=\left\{ x\in \mathbb{Q\mid }x<a_{2}\right\}\]

\[Q_{4}=\left\{ x\in \mathbb{Q\mid }x<a_{4}\right\}\]

\[Q_{6}=\left\{ x\in \mathbb{Q\mid }x<a_{6}\right\}\]

vs.

Bu kümelerin birleşimi, yani;

\[A=\cup _{k=1}^{\infty }Q_{2k}\]

kümesi, $\pi $ sayısının Dedekind kesimidir ( $\pi $ den küçük tüm rasyonel sayıları içeriyor.)

Comments

Teşekkür ederim. Verdiğim cevap benim de kafamı kurcalıyordu.