$\mathfrak{o}$ bir Dedekind bölgesi ise, $Cl(\mathfrak{o})$ ideal sınıf grubu sonlu olmak zorunda değildir.

Question

Bir $\mathfrak{o}$ Dedekind bölgesi için ideal sınıf grubu (ideal class group) şöyle tanımlanır;

$Cl(\mathfrak{o})=I_{\mathfrak{o}}/P_{\mathfrak{o}}$,

Burada $I_{\mathfrak{o}}$, $\mathfrak{o}$ bölgesinin tüm kesirli idealleri (fractional ideals), $P_{\mathfrak{o}}$ ise $\mathfrak{o}$ bölgesinin tek üreteçli kesirli idealleri (principal fractional ideals).

Biliyoruz ki her $\mathfrak{o}$ Dedekind bölgesi için, $Cl(\mathfrak{o})$ bir grup yapısı veriyor.

Diğer yandan eğer biz bir $K$ sayı cisminin (number field) $\mathfrak{o}_K$ tamsayılar halkasına (ring of integers) bakıyorsak (ki bu bir Dedekind bölgesidir) bu durumda $Cl(\mathfrak{o}_K)$ her zaman sonlu olmak zorunda, bkz A. Fröhlich & M. J. Taylor, Algebraic Number Theory, Cambridge, 1991, Bölüm IV, Sav 31.

Diğer yandan bu sonluluk özelliği rastgele bir Dedekind bölgesi için sağlanmayabilir, karşı örnek olarak aynı kitapta Bölüm 6, sayfa 247'deki eksonuca bakmak yeterli. Fakat bu örnekte eliptik eğriler kullanılmakta ve karmaşık bir yapıya sahip.

Daha basit bir örnek bilen var mı?

 

Answer 1

Her değişmeli grup için o değişmeli grubun ideal sınıf bölgesi olduğu bir Dedekind bölgesinin var olduğunu ispatlayan şöyle bir makale var. Bir dönem cebirsel sayılar teorisi almış birisi tarafından okunabilecek bir makale.

http://projecteuclid.org/DPubS?verb=Display&version=1.0&service=UI&handle=euclid.pjm/1102994263&page=record

Answer 2

$n=1,2,3,\dots$ için $$\text{Pic}(\mathbb{P}^n)\cong\mathbb{Z}$$ eşitliği bu durum için bir karşı örnek. $n=1$ yani $\text{Pic}(\mathbb{P})\cong\mathbb{Z}$ durumu Klaus Hulek'in cebirsel geometri kitabında mevcut. 

Anladığım kadarıyla cebirsel geometriciler Picard grubunu (Pic), sayı kuramcılar da ideal sınıf grubunu (Cl) kullanmayı yeğliyorlar. Halbuki bunlar neredeyse aynı şeyler.