$G=\mathbb{Z}_n \oplus \mathbb{Z}_m$deki mertebeler

Question

$G=\mathbb{Z}_n \oplus \mathbb{Z}_m$ ve $d=p^k$, $d|n$, $d|m$ olmak uzere $G$'nin mertebesi $d$ olan elemanlarin sayisinin $d\phi(d)+[d-\phi(d)]\phi(d)$ oldugunu gosteriniz. 

Burdan $G=\mathbb{Z}_4 \oplus \mathbb{Z}_4$,un mertebesi 4 olan 12 eleman, 2 olan 3 elaman ve 1 olan 1 eleman oldugunu ayristirabiliriz. 

Comments

Euler phi fonksiyonu. Baska boleni olabilir. 

Answer 1

Bu elemanlar, ya mertebesi $d$ olan bir $a\in \mathbb{Z}_n$ ve mertebesi $d$'yi bölen bir $b\in \mathbb{Z}_n$ için $(a, b)$ biçimindedir ya da mertebesi $d$'yi bölen bir $a\in \mathbb{Z}_n$ ve mertebesi $d$ olan bir $b\in \mathbb{Z}_n$ için $(a, b)$ biçimindedi.

Döngüsel bir grubun her altgrubu döngüsel olduğundan ve $d$ elemanlı döngüsel bir grubun $\phi(d)$ tane derecesi $d$ olan elemanı olduğundan ve sonlu döngüsel bir grubun, grubun eleman sayısını bölen her sayıda (tek) bir altgrubu olduğundan, birinci tipte elemanların sayısı $\phi(d)d$'dir. İkinci tipten de bir o kadar vardır. Hem birinci hem ikinci tipten de $\phi(d)^2$ tane vardır. Demek ki bu türden elemanların sayısı $2\phi(d)d - \phi(d)^2$ olur.

$d=p^k$ eşitliğinin önemi yok.