Question

$X$ bir küme ve $d_{1}, d_{2}$ metrikleri $X$ üzerinde Lipschitz denk iki metrik olmak üzere $(X, d_{1})$ ve $(X, d_{2})$ uzaylarının homeomorf olduğunu gösteriniz.

Answer 1

$$d_1\overset{L}{\sim}d_2$$

$$\Rightarrow$$

$$d_1\overset{D}{\sim}d_2$$

$$\Rightarrow$$

$$d_1\overset{T}{\sim}d_2$$

$$\Rightarrow$$

$$\tau_{d_1}=\tau_{d_2}$$

olduğundan $$f(x)=x$$ kuralı ile verilen $$f:X\to X$$ fonksiyonu bir homeomorfizmdir.

Comments

İspatın Türkçe meali: İki metrik Lipschitz denk ise düzgün denk; düzgün denk ise topolojik denktir. İki metrik topolojik denk ise bu metriklerin ürettiği (doğurduğu) topolojiler aynıdır. O halde $X$'deki birim fonksiyon bir homeomorfizm olacaktır.