Analiz yığılma noktası

Question

$$\begin{align*} & \forall n\in \mathbb{N} \\ & 1+\dfrac {1} {n}\end{align*}$$ noktası A=(0,1) kümesinin yığılma noktası olmadığını gösteriniz.

Comments

Sorunuz anlamlı değil. Lütfen sorunuzu kontrol edip düzenler misiniz?

---

İngilizceden çevirdiğim için yanlış olmuş

Answer 1

Tanım: $\emptyset \neq A \subset \mathbb{R}$ ve $x \in \mathbb{R}$ olmak üzere

$x, A$'nın yığılma noktası  $:\Leftrightarrow (\forall \varepsilon > 0)$ $((x-\varepsilon,x+\varepsilon) \cap (A\setminus \{x\}) \neq \emptyset)$

$x, A$'nın yığılma noktası değil $:\Leftrightarrow (\exists \varepsilon > 0)$ $((x-\varepsilon,x+\varepsilon) \cap (A\setminus \{x\}) = \emptyset)$ 

$n \in \mathbb{N}$ olmak üzere $\varepsilon:=\frac {1}{n}$ seçilirse

 $(1 + \frac {1}{n}$ $-$ $\frac {1}{n},$   $1+$ $\frac{1}{n}$ $+$ $\frac{1}{n})$ $\cap$ $((0,1)$ $\setminus$ $\{1 + \frac {1}{n}\})$ = $\emptyset$ olur. 

O halde  $1 + \frac {1}{n},$ $(0,1)$ kümesinin bir yığılma noktası değildir.    

Answer 2

Herhangi bir $n$ doğal sayısı için $1+\cfrac{1}{n}$ sayısının $A=(0,1)$ kümesinin bir limit/yığılma noktası olması için şu lazım; bu noktayı içeren her $U$ açık kümesi için $A \cap U \neq \emptyset$ sağlanmalı. $n \in \mathbb{N}$ ne olursa olsun, $(1, 85)$ açık bir küme, $1 + \cfrac{1}{n}$ 'i içeriyor ve $A \cap U = (0,1) \cap (1,85) = \emptyset$.