Teşekkürler takıldığım bir nokta yok, ispatı şu şekilde yaptım.
s^{*} \in S ve u \notin S olsun.
(s^{*} \in S)(u \notin S) \Rightarrow s^{*} \neq u \Rightarrow (u < s^{*}) \vee (s^{*} < u)
I. Durum: u < s^{*} olsun.
u < s^{*} \Rightarrow \sup\{u,s^{*}\}=s^{*}.
u < s^{*} \Rightarrow u \notin S^{Ü}
\Rightarrow \sup\{S \cup \{u\} \}=\sup(S)=s^{*} .
II. Durum: s^{*} < u olsun.
s^{*} < u \Rightarrow sup\{u,s^{*}\}=u.
(u \notin S)(s^{*} < u) \Rightarrow u \in S^{Ü}
\Rightarrow \sup\{S \cup \{u\} \}=u .
Her iki durumda da eşitliği gösterdiğimizden
\sup\{S \cup \{u\} \}=\sup\{u,s^{*}\} olur.
(Burada S^{Ü} gösteriminden kasıt S kümesinin üst sınırlarının oluşturduğu kümedir.)