Processing math: 2%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
1k kez görüntülendi


Lisans Matematik kategorisinde (197 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 1k kez görüntülendi

Neresinde takildiniz tam olarak?

sup yazar iki dolar işareti arasına alırsan görünüm sup şeklinde olur. \sup yazar iki dolar işareti arasına alırsan görünüm \sup olur. 

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Teşekkürler takıldığım bir nokta yok, ispatı şu şekilde yaptım.

s^{*} \in S ve u \notin S olsun.

(s^{*} \in S)(u \notin S) \Rightarrow s^{*} \neq u \Rightarrow (u < s^{*})  \vee (s^{*} < u) 

I. Durum: u < s^{*} olsun.  

u < s^{*} \Rightarrow  \sup\{u,s^{*}\}=s^{*}.

u < s^{*} \Rightarrow u \notin S^{Ü}

             \Rightarrow \sup\{S \cup \{u\} \}=\sup(S)=s^{*} .

II. Durum: s^{*} < u olsun.  

s^{*} < u \Rightarrow  sup\{u,s^{*}\}=u.

(u \notin S)(s^{*} < u) \Rightarrow u \in S^{Ü} 

                              \Rightarrow \sup\{S \cup \{u\} \}=.

Her iki durumda da eşitliği gösterdiğimizden

\sup\{S \cup \{u\} \}=\sup\{u,s^{*}\} olur. 

(Burada S^{Ü} gösteriminden kasıt S kümesinin üst sınırlarının oluşturduğu kümedir.) 


(197 puan) tarafından 

u=s^* da olabilir.

Birinci durumdaki \sup\{S\cup\{u\}\}=\sup(S) esitligi nasil geldi?

Hipotezden elimizde s^{*} \in S ve u \notin S olduğu var. u=s^{*} olması hipoteze aykırı bir durum olmaz mı?

 I. durumda u < s^{*} idi.

 u < s^{*}=\sup(S) olduğundan u, S'nin üst sınırları kümesinde olamaz. Dolayısıyla u, \{S \cup \{u\}\} kümesinin üst sınırları kümesine de ait değildir. Böylece u, bu kümenin supremumu olmaya aday değildir. O halde 

\sup\{S \cup \{u\} \}=\sup(S) olur.   

Evet, o kismi gormemistim. Fakat genel olarak s^*'in var olmasi yeterli ve u \in S olsa da esitlik saglanir. 

u'nun supremuma aday olmamasi neden eski supremumu degistirmesin? Zaten gostermeye calistigimiz da bu degil mi?

"u<s^* ise her x \in S\cup \{u\} icin x \le s^* olur. Bu bize \sup(S\cup\{u\}) \le s^* der ve s^*\in S oldugundan \sup(S\cup\{u\}) \ge s^* olur."

Seklinde gostermemiz gerekli bence.

20,291 soru
21,832 cevap
73,524 yorum
2,658,151 kullanıcı