$Aut(G) \ntriangleleft S_G$

Question

$Aut(G):=\{\phi:G \longrightarrow G \ | \  \phi:$ otomorfizma $\}$

$S_G:=\{f:G \longrightarrow G \ | \  f:$ birebir,örten $\}$ 

Kümeleri tanımlanıyor. 

$Aut(G)$'nin $S_G$'nin normal altgrubu olmadığını gösteriniz.

Comments

Daha kolay bir yol vardır mutlaka ama şöyle bir şey yapabilirsin:

Her otomorfizma grubun birim elemanını (1) birim elemana götürmek zorunda. $f\in S_G$'yi $f(1) = a \neq 1$ olacak şekilde seç. Bu $a$ öyle bir eleman olsun ki $\phi(a) \neq a$ olacak bir otomorfizma bulabilesin. Eğer böyle bir $a \in G$ olduğunu gösterebilirsen $f^{-1}\phi f$ bir otomorfizma olmayacaktır.

---

 Cevap için teşekkür ederim öncelikle. Belki barizdir fakat:

$\phi(a) \neq a$ olacak şekilde bir $a$ elemanı ve $\phi$ otomorfizmasının varlığını tam göremiyorum. Varlığını kabul ettikten sonrasında kanıtı anladım. 

−1ϕf

---

Her elemanı tersine götüren fonksiyon otomorfizma mı? Eğer her elemanın tersi kendisi değil ise bu otomorfizmayı alabilirsin. Eğer her elemanın tersi kendisi ise her elemanın derecesi 2 demektir. Böyle iki elemanın yerini değiştirmek bir otomorfizma verir mi?

---

Eğer böyle bir $\phi$ olmasaydı $Aut(G) = 1$ demektir ve bu durumda otomatik olarak normal olur. Eğer $Aut(G) \neq 1$ ise, böyle bir $\phi$ ve $a$ var demektir. 

Bu arada bir önceki yorumda yazdığım her şeyi tersine götüren fonksiyon bir otomorfizma değil, eğer grup abelyen değil ise.