Question

$0,\overline{9}$=1 oldugunu ispatlayiniz?

Comments

Siz neler düşündünüz?

---

Devirli ondalık sayılar çevirirken ;
  
 
 (Sayının tamamı) - (Devretmeyen kısım)
▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬
  Virgülden Sonra , Devreden kadar 9
                                Devretmeyen kadar 0

---

Bunun kanıtını lazım.

---

Sayımıza $x$ diyelim.

$x=0,\overline{9}$

Her iki tarafı 10 ile çarpalım

$10x=9,\overline{9}$

ilk denklemimizi yani ($x=0,\overline{9}$) bunu - ile çarpıp , bulduğumuz yukarıda ki denklemden çıkartalım

$-x=-0,\overline{9}$
$10x=9,\overline{9}$

buradan şu sonucu elde ederiz

$9x=9$

ve $x$ buradan $1$ olur...

Answer 1

$\dfrac13=0,\overline 3$

hertarafı $3$ ile çarparsak,


$3.\dfrac13=\boxed{1=0,\overline9}$

$\Box$

Answer 2

$0,\overline 9=0,9999 \dots =0,9+0,09+0,009+0,0009+\dots$

                   $=\dfrac 9 {10}+\dfrac 9 {100}+\dfrac 9 {1000}+\dfrac 9 {10000}+ \dots$

                   $=\dfrac 9 {10} \left(1+\dfrac1 {10} +\dfrac1 {100}+\dfrac1 {1000}+\dots \right)$

                    =  $\dfrac9 {10} . \dfrac{1-(\dfrac {1}{10})^n} {1-\dfrac {1}{10}} $   

                   =    $ \dfrac{9} {10}.\dfrac {1} {\dfrac {9}{10}}  =1$