İdeallerde operasyonlar

Question

$\mathfrak{a}$ ve $\mathfrak{b}$ bir halkanın idealleri olsun.
Ne zaman $\mathfrak{ab} \subseteq (a+b)(a \cap b)$  sağlanır, açıklayınız.
Bu arada $\mathfrak{ab} \supseteq (a+b)(a \cap b)$  her zaman sağlanır.

Comments

Fikirlerin nelerdir?

---

Şimdi halkamız $A$ ve $x_1y_1+ \dots +x_ny_n \in \mathfrak{a}\mathfrak{b}$  olsun. Bu toplamdaki her bir terim $x_i y_i$ hem $\mathfrak{a}$ hem $\mathfrak{b}$ idealinde bulunur, neden?
Çünkü $x_i \in \mathfrak{a}, y_i \in A \implies x_iy_i \in \mathfrak{a}$ ve aynı şekilde $x_iy_i \in \mathfrak{b}$. O zaman $x_iy_i \in \mathfrak{a} \cap \mathfrak{b}$. Dolayısıyla  $x_1y_1+ \dots +x_ny_n \in \mathfrak{a} \cap \mathfrak{b}$.
Yani her zaman $\mathfrak{a}\mathfrak{b} \subseteq \mathfrak{a} \cap \mathfrak{b}$. Şimdi aklıma gelen şey $\mathfrak{a}+\mathfrak{b}$'de $1$ olması çünkü aksi takdirde  $x_1y_1+ \dots +x_ny_n \in \mathfrak{a}\mathfrak{b}  \nRightarrow \mathfrak{a} \cap \mathfrak{b}$ olurdu.(Olur muydu?).
Yani bahsettiğimiz eşitlik ancak $\mathfrak{a}+\mathfrak{b}=A=(1)$ durumunda geçerli olur.

İçime sinmeyen kısım, (Olur muydu?) kısmı.

---

$\mathbb Z$ icerisinde $a=(2)$, $b=(4)$ ise
$ab=(8)$ 
$a+b=(2)$
$a \cap b=(4)$
olur.

Genel olarak $b\subset a$ ise $a+b=a$ ve $a \cap b=b$ olur.


___
ikinci sorun basit $A \in a$ ve $B \in b$ olacak sekilde $A+B$ elemanini kesisimden bir $x$ ile carparsak $Ax$ ($x\in B$) ve $Bx$ ($x \in A$) elemanlari ve dolayisiyla toplamlari carpimin icine duser.

---

Sercan hocam eğer halkamız $\mathbb{Z}$ ise $(\mathfrak{a}+\mathfrak{b})(\mathfrak{a} \cap \mathfrak{b})=\mathfrak{a}\mathfrak{b}$ her zaman geçerli. Herhangi bir halkadan bahsediyorsak eşitlik için $\mathfrak{a}+\mathfrak{b} =(1)$ gerekli, tam çözemediğim bir nedenden dolayı.

---

Genel olarak da gecerli. Eger $a \subset b$ ise... Ornekten sonra yazdigim kisim. 

---

Biraz düşüneyim.

---

Sercan hocam eğer $\mathfrak{a} \not\subset \mathfrak{b}$ ve $\mathfrak{b} \not\subset \mathfrak{a}$ ise ne yapacağız?