Processing math: 37%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
776 kez görüntülendi

a ve b bir halkanın idealleri olsun.
Ne zaman ab(a+b)(ab)  sağlanır, açıklayınız.
Bu arada ab(a+b)(ab)  her zaman sağlanır.

Lisans Matematik kategorisinde (477 puan) tarafından  | 776 kez görüntülendi

Fikirlerin nelerdir?

Şimdi halkamız A ve x1y1++xnynab  olsun. Bu toplamdaki her bir terim xiyi hem a hem b idealinde bulunur, neden?
Çünkü xia,yiAxiyia ve aynı şekilde xiyib. O zaman xiyiab. Dolayısıyla  x1y1++xnynab.
Yani her zaman abab. Şimdi aklıma gelen şey a+b'de 1 olması çünkü aksi takdirde  x1y1++xnynab olurdu.(Olur muydu?).
Yani bahsettiğimiz eşitlik ancak \mathfrak{a}+\mathfrak{b}=A=(1) durumunda geçerli olur.

İçime sinmeyen kısım, (Olur muydu?) kısmı.

\mathbb Z icerisinde a=(2), b=(4) ise
ab=(8) 
a+b=(2)
a \cap b=(4)
olur.

Genel olarak b\subset a ise a+b=a ve a \cap b=b olur.


___
ikinci sorun basit A \in a ve B \in b olacak sekilde A+B elemanini kesisimden bir x ile carparsak Ax (x\in B) ve Bx (x \in A) elemanlari ve dolayisiyla toplamlari carpimin icine duser.

Sercan hocam eğer halkamız \mathbb{Z} ise (\mathfrak{a}+\mathfrak{b})(\mathfrak{a} \cap \mathfrak{b})=\mathfrak{a}\mathfrak{b} her zaman geçerli. Herhangi bir halkadan bahsediyorsak eşitlik için \mathfrak{a}+\mathfrak{b} =(1) gerekli, tam çözemediğim bir nedenden dolayı.

Genel olarak da gecerli. Eger a \subset b ise... Ornekten sonra yazdigim kisim. 

Biraz düşüneyim.

Sercan hocam eğer \mathfrak{a} \not\subset \mathfrak{b} ve \mathfrak{b} \not\subset \mathfrak{a} ise ne yapacağız?

20,312 soru
21,868 cevap
73,589 yorum
2,859,624 kullanıcı