Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
407 kez görüntülendi
$\mathbb{R}[X,Y]$ 'nin şu ideallerini ele alalım:
$<Y-X> \ , \ <Y^2+X^2-1> \ , \ <Y- \sqrt{1/2}>$

Gösteriniz ki ,

$<Y-X> \ + \ <Y^2+X^2-1> \ + \ <Y- \sqrt{1/2}>\ = \ <Y- \sqrt{1/2}\ , \ X-\sqrt{1/2}> \ ' $ dir.

Soruyu geometrik düşündüğümde,
$V(<Y-X> ) \cap  V(<Y^2+X^2-1>) \cap V(<Y- \sqrt{1/2}>) = V(<Y-X> + <Y^2+X^2-1> +  <Y- \sqrt{1/2}>)$

oluyor. dolayısı ile eşitliğin sol tarafındaki varyeteleri kesiştirdiğimde bulduğum şu oluyor:
$V(Y-X)=V(<Y-X>)=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : y=x \}=\{"x=y \quad doğrusu."\} \subseteq \mathbb{A}^2_\mathbb{R}$;

$V(Y^2+X^2-1)=V(<Y^2+X^2-1>)=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: x^2+y^2=1 \}=\{"merkezi\ orjinde\ birim\ çember."\}\subseteq \mathbb{A}^2_\mathbb{R}$;

$V(Y-\sqrt{1/2})=V(<Y-\sqrt{1/2}>) = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2: y=\sqrt{1/2}\}=\{" y=\sqrt{1/2}\ \ doğrusu."\}\subseteq \mathbb{A}^2_\mathbb{R}$;

olmak üzere bu üç varyete tabi ki $(\sqrt{1/2}\ , \ \sqrt{1/2})\in \mathbb{A}^2_\mathbb{R}$ 'de kesişiyorlar. Bu nokta ise $\{X-\sqrt{1/2}\ , \ Y- \sqrt{1/2} \}\subseteq \mathbb{R}[X,Y]$'nin varyetesi. Dolayısı ile bu iki polinom tarafından üretilen idealin varyetesi, demek ki

$<Y-X> \ + \ <Y^2+X^2-1> \ + \ <Y- \sqrt{1/2}>\ = \ <Y- \sqrt{1/2}\ , \ X-\sqrt{1/2}> \  $

oluyor çünkü varyeteleri eşitler diye düşünüyorum. Bunu (eğer doğruysa) göstermenin daha cebirsel bir yolu var mı ? Şimdiden her katkı için teşekkür ederim.
Lisans Matematik kategorisinde (21 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 407 kez görüntülendi

Soldaki ideallerin üreteçlerinin sağdaki idealde, sağdaki idealin (düzeltme) üreteçlerinin üretecinin soldaki idealde olduğunu göstermek yeterli olur mu?

Olur tabi. Ama bir yere varmaya çalışmıyorum. Diğer fikirlere de açığım. Genel olarak ne tür metodlar var diye merak ediyorum. Katkınız için teşekkür ederim.
20,260 soru
21,785 cevap
73,460 yorum
2,348,058 kullanıcı