Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
324 kez görüntülendi
$\mathbb{R}[X,Y]$ 'nin şu ideallerini ele alalım:
$<Y-X> \ , \ <Y^2+X^2-1> \ , \ <Y- \sqrt{1/2}>$

Gösteriniz ki ,

$<Y-X> \ + \ <Y^2+X^2-1> \ + \ <Y- \sqrt{1/2}>\ = \ <Y- \sqrt{1/2}\ , \ X-\sqrt{1/2}> \ ' $ dir.

Soruyu geometrik düşündüğümde,
$V(<Y-X> ) \cap  V(<Y^2+X^2-1>) \cap V(<Y- \sqrt{1/2}>) = V(<Y-X> + <Y^2+X^2-1> +  <Y- \sqrt{1/2}>)$

oluyor. dolayısı ile eşitliğin sol tarafındaki varyeteleri kesiştirdiğimde bulduğum şu oluyor:
$V(Y-X)=V(<Y-X>)=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : y=x \}=\{"x=y \quad doğrusu."\} \subseteq \mathbb{A}^2_\mathbb{R}$;

$V(Y^2+X^2-1)=V(<Y^2+X^2-1>)=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: x^2+y^2=1 \}=\{"merkezi\ orjinde\ birim\ çember."\}\subseteq \mathbb{A}^2_\mathbb{R}$;

$V(Y-\sqrt{1/2})=V(<Y-\sqrt{1/2}>) = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2: y=\sqrt{1/2}\}=\{" y=\sqrt{1/2}\ \ doğrusu."\}\subseteq \mathbb{A}^2_\mathbb{R}$;

olmak üzere bu üç varyete tabi ki $(\sqrt{1/2}\ , \ \sqrt{1/2})\in \mathbb{A}^2_\mathbb{R}$ 'de kesişiyorlar. Bu nokta ise $\{X-\sqrt{1/2}\ , \ Y- \sqrt{1/2} \}\subseteq \mathbb{R}[X,Y]$'nin varyetesi. Dolayısı ile bu iki polinom tarafından üretilen idealin varyetesi, demek ki

$<Y-X> \ + \ <Y^2+X^2-1> \ + \ <Y- \sqrt{1/2}>\ = \ <Y- \sqrt{1/2}\ , \ X-\sqrt{1/2}> \  $

oluyor çünkü varyeteleri eşitler diye düşünüyorum. Bunu (eğer doğruysa) göstermenin daha cebirsel bir yolu var mı ? Şimdiden her katkı için teşekkür ederim.
Lisans Matematik kategorisinde (21 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 324 kez görüntülendi

Soldaki ideallerin üreteçlerinin sağdaki idealde, sağdaki idealin (düzeltme) üreteçlerinin üretecinin soldaki idealde olduğunu göstermek yeterli olur mu?

Olur tabi. Ama bir yere varmaya çalışmıyorum. Diğer fikirlere de açığım. Genel olarak ne tür metodlar var diye merak ediyorum. Katkınız için teşekkür ederim.
20,235 soru
21,758 cevap
73,397 yorum
2,044,350 kullanıcı