Halka bir cisimdir eğer her homomorfizma birebir ise

Question

 $R$ bir halka olsun. O zaman:
$R$ bir cisimdir $\iff$ $R$'den herhangi $B \neq 0$ halkasına tanımlı her homomorfizma birebirdir. Gösteriniz. 

Comments

Soruya $R$ 'nin birimli ve değişmeli bir halka olduğu da eklenmeli.

Answer 1

Ikinciyi kabul edelim ve $R$ halkasindan $(x)\ne (1)$ olacak sekilde bir eleman alalim. Bu elemana karsilik gelen $B_x=A/(x)$ bolum halkasini ve dogal $A \to B_x$ homomorfizmasini alalim. Bu halkanin cekirdegi $(x)$ olur ve "kabulumuzden" dolayi homomorfizmamiz birebir oldugundan $x=0$ olmali.

Bu bize $x\ne 0$ haricinde $(x)=(1)$ oldugunu verir. Yani sifir olmayan her elemanin tersi vardir. Dolayisiyla da $R$ bir cisim olur. 


Ilkini kabul edelim. Bir cisimin iki adet ideali vardir. $(0)$ ve $(1)$. (Bu cok acik). Herhangi homomorfizmanin cekirdegi bir ideal olacak. Cekirdegin $(1)$ olmasi, tum elemanlarin sifira gitmesini gerektirir, bu sifir olmayan halka disinda mumkun degil cunku $1 \to 1$  olmali.  Bu da cekirdegin $(0)$ olmasini zorunlu kilar ve dolayisiyla homomorfizm birebir olur.

Comments

Kanıt çok net Sercan hocam, ben mesela $\implies$ kısmında uzun uzun $\phi(a)=\phi(b)$ ise $a-b$ çekirdektedir diye ilerlemiştim.

---

Sercan'ın yorumunu biraz daha genelleştirip "Eğer R bir cisim ise ve I bir ideali ise, I = 0 ya da I = R olmalıdır" diyebilirsin. Bunun tersi de doğru. Bunu da kullanabilirsin.