n kaçtır?

Question

1den n'ye kadar olan doğal sayıların toplamı X, 8den n ye kadar olan doğal sayıların toplamı Y dir. X+Y=314 olduğuna göre, n kaçtır?

Comments

Neler denediniz, ne düşündünüz paylaşır mısınız? Bu, sitemizin bir geleneğidir.

Answer 1

$\underbrace{1+2+3+4+5+6+7}_{28}+Y=X$

X ve Y'yi tek cinsten yazmak için ya Y'yi X, ya da X'i Y olarak yazmalıyız. Ben Y cinsinden yazmayı tercih ettim.

$Y+\underbrace{X}_{28+Y}=314$  

$2Y+28=314$

$Y=143$

Bundan sonra ise;

$8+.....+n=Y=143$

eşitliğini yazmak gerekir. Sonrasında ardışık doğal sayıların toplamını bulmak için ilk terim ve son terimi toplayıp sayı adediyle çarpmak, ardından sonucu ikiye bölmek gerekir.

$\frac{(8+n)(n-8+1)}{2}=143$

$(n+8)(n-7)=286$

$n^2+n-56=286$

$n^2+n=342$

$n(n+1)=342$

İki ardışık sayının çarpımının son basamağı 2 ise; bu iki sayı A3-B4, A6-B7 ya da A8-B9 şeklinde iki basamaklı sayılar olabilirler. Kısa süreli denemenin ardından 18-19 ikilisinin uyduğunu görüyoruz ki buna göre $n=18$ olduğu ortaya çıkar.