Supremum ve İnfimum

Question

$A,B \neq \emptyset$ sınırlı iki küme ve ;

$A.B=\{ z : z=x.y , x\in A , y \in B$  olsun .

$infA > 0$ ,   $infB > 0$ ise 

$sup(A.B)=supA.supB$

$inf(A.B)=infA.infB$

Kanıtlayalım.

Düşüncem A.B=C olsun . Dolayısıyla $c\in C$ vardır ki $c=x.y$ denlemden dolayı sağlar ve $c\leq$ $supA.supB$ 

c'nin bir üst sınırının oldugunu gosterır ve ; 

$SupC\leq supA.supB$ 

acaba nasıl devam ederım .

Comments

Asagidaki yontem ile bunu da gosterebilirsin. Pekistirme olur.

"Eger $A,B \subseteq (-\infty,0]$ ise  $\sup(AB) = \inf{A} \cdot \inf{B}$ oldugunu ispatlayiniz." 

Answer 1

Her $a\in A$ ve $b \in B$ icin $$0<a \le \sup A \;\;\; \text{ ve } \;\;\; 0<b \le \sup B$$ oldugundan $$ab \le \sup A\cdot  \sup B$$ olur. Bu da bize en kucuk ust sinirin tanimindan $$\sup(AB) \le \sup A\cdot \sup B$$ oldugunu verir.  Ayrica her $a\in A$ ve $b\in B$ icin  $$ab\le\sup(AB) \implies a \le \sup (AB)b^{-1}\implies \sup A \le \sup(AB)b^{-1}$$ $$\implies \sup A \cdot b \le \sup(AB) \implies b \le \sup(AB)(\sup A)^{-1}$$ $$\sup B \le \sup(AB) (\sup A)^{-1} \implies \sup A\cdot \sup B\le \sup(AB)$$ olur.