Sürekli ve periyodik bir fonksiyonun Temel (en küçük pozitif) periyodunun varlığı

Question

Periyodik bir fonksiyonun periyotları arasında en küçük olanı var olmayabilir. (periyodun pozitif olması koşulu varsayımı ile)

(Örnek: $f(x)=\begin{cases}1,\quad x\in\mathbb{Q}\textrm{ ise}\\0,\quad x\notin\mathbb{Q}\textrm{ ise}\end{cases}$ fonksiyonu için her pozitif rasyonel sayı bir periyot olur. En küçük periyot yoktur.)

 Ama $f(x)$, sabit olmayan, periyodik ve ($\mathbb{R}$ de) sürekli ise en küçük (pozitif) bir periyodunun var olduğunu gösterin.

Comments

Sabit fonksiyonlar surekli, periyodik ama en kucuk periyodu yok. 

Ek: iIlgili soru

---

Haklısın Sercan. Sabit olmama koşulunu da ekledim.

Answer 1

$f$ sürekli, periyodik ve en küçük periyodu olmayan bir fonksiyon olsun. Amacımız $f$'nin sabit olduğunu göstermek. $f$ için bir $p$ periyodu alalım ve $g(x)=f(px)$ olarak tanımlayalım. Bu durumda $g$ sürekli, periyodik, $1$ sayısı periyodu olan ve en küçük periyodu olmayan bir fonksiyon olacaktır.

$g$'nin en küçük periyodu olmadığına göre $g$'nin periyotlarından oluşan öyle bir $(q_n)$ dizisi bulabiliriz ki $q_n \rightarrow 0$ olur. (Bunun nedeni için yorumlara bakınız.) Şimdi bir $x \in [0,1]$ alalım. Öyle $a_n$ doğal sayıları bulabiliriz ki $a_0 q_0 + a_1 q_1 + a_2 q_2 + ...$ toplamı $x$'e yakınsar. Ancak $g$'nin bu serinin kısmı toplamlarındaki değerleri, $q_n$'ler periyot oldukları için, sabittir. Bunun sonucunda, $g$ sürekli olduğu için, her noktadaki değeri $0$ noktasındaki değerine eşittir ve sabittir. Dolayısıyla $f$ de sabittir.

Comments

Neden $q_n \to 0$ olmali? Mesela $q_n \to 1/2$ olur ve $g(x+1/2)=g(x)$ olmazsa bu durumda da en kucuk periyod olmaz.

---

Eğer $q_n \rightarrow k \neq 0$ ise $g(x+q_n)=g(x)$ ve $g$ sürekli olduğundan dolayı $g(x)=lim\ g(x+q_n)=g(lim\ x+q_n)=g(x+k)$ olur ve dolayısıyla $k$ da bir periyot olur. Dolayısıyla en küçük periyot yoksa periyotların infimumu sıfır olmalıdır. Tabii periyot derken sadece pozitif periyotları kastediyorum.

---

Biraz daha iyisi de yapılabilir.

Aslında, fonksiyon süreksiz bile olsa periyotlarının infimumu pozitif ise o da  periyot oluyor.

İspat:

$T,\ f$ nin (pozitif) periyotlarının infimumu,  $T>0$ ve $T$ periyot olmasın.

$f$ nin $2T$ den küçük bir $t_1$ periyodu vardır. $T<t_1<2T$ olur.

$f$ nin  $t_1$ den de küçük bir $t_2$ periyodu vardır.

 $t_1-t_2<T$ ve $t_1-t_2$ de $f$ nin periyodu olur. Çelişki.

($f$ periyotları, onların (toplamaya göre) tersleri ve 0, $\mathbb{R}$ nin bir alt grubunu oluşturur.

$\mathbb{R}$ nin bir alt grubu, ya ayrıktır ya da $\mathbb{R}$ de yoğundur.)

---

Evet, bu kanıt daha hoş oldu. Yorumlara +1 veremediğimiz için yorum yazarak +1'leyim.

Answer 2

Bir çözüm daha:

En küçük pozitif periyot yoksa çelişki bulalım.

$a,b\in\mathbb{R},\ f(a)\neq f(b)$ olacak şekilde alalım.

$0<\varepsilon<|f(a)-f(b)|$ olacak şekilde seçelim. $f,\ a$ da sürekli olduğu için

$|x-a|<\delta$ olduğunda $|f(x)-f(a)|<\varepsilon$

olacak şekilde pozitif bir $\delta$ gerçel sayısı vardır.

$f$ nin $0<t<2\delta$ olacak şekilde bir $t$ periyodunu alalım.

 ($(a-\delta,a+\delta)$ aralığının uzunluğu $t$ den daha büyük olduğu için)

$a-\delta<b+nt<a+\delta$ (yani $|(b+nt)-a|<\delta$) olacak şekilde bir $n\in\mathbb{Z}$ vardır.

Öyleyse ($\delta$ seçiminden) $|f(b+nt)-f(a)|<\varepsilon$  olmalıdır.

Ama ($t$ nin bir periyot oluşundan ve $\varepsilon$ sayısının seçiminden)

 $|f(b+nt)-f(a)|=|f(b)-f(a)|>\varepsilon$ dır. 

Çelişki.

(Burada, aslında, $f$ nin, HER aralıkta, hem $f(a)$ hem de $f(b)$ değerini alması gerektiğini (yaptıklarımız azıcık daha ileri götürerek) gösterebiliyoruz. Bu da süreklilik ile çelişiyor.)

(Buradan, $f$ nin tek bir noktada sürekli olmasının yeterli olduğunu da görüyoruz)

Comments

Yazdıktan sonra farkettim:

Ben de, Burak da sorulan soruyu eksiksiz çözmedik (ama asıl ilginç kısmını çözdük).

Periyotların infimumu (en büyük alt sınırı) 0 değilse, o infimumun da bir periyot olduğunu (dolayısıyla en küçük pozitif periyot var olur) göstermemiz gerekirdi. Bunun ispatı biraz daha kolay.

---

Hocam, benim gönderdiğim cevabın yorumlar kısmında Sercan bu itirazı yaptığı için, cevabın yorum kısmına ekledim onun nedenini.