Bir çözüm daha:
En küçük pozitif periyot yoksa çelişki bulalım.
a,b∈R, f(a)≠f(b) olacak şekilde alalım.
0<ε<|f(a)−f(b)| olacak şekilde seçelim. f, a da sürekli olduğu için
|x−a|<δ olduğunda |f(x)−f(a)|<ε
olacak şekilde pozitif bir δ gerçel sayısı vardır.
f nin 0<t<2δ olacak şekilde bir t periyodunu alalım.
((a−δ,a+δ) aralığının uzunluğu t den daha büyük olduğu için)
a−δ<b+nt<a+δ (yani |(b+nt)−a|<δ) olacak şekilde bir n∈Z vardır.
Öyleyse (δ seçiminden) |f(b+nt)−f(a)|<ε olmalıdır.
Ama (t nin bir periyot oluşundan ve ε sayısının seçiminden)
|f(b+nt)−f(a)|=|f(b)−f(a)|>ε dır.
Çelişki.
(Burada, aslında, f nin, HER aralıkta, hem f(a) hem de f(b) değerini alması gerektiğini (yaptıklarımız azıcık daha ileri götürerek) gösterebiliyoruz. Bu da süreklilik ile çelişiyor.)
(Buradan, f nin tek bir noktada sürekli olmasının yeterli olduğunu da görüyoruz)