$\pi^2$'nin İrrasyonelliği. [kapalı]

Question

$\pi$  sayısı irrasyoneldir; aslında $\pi^2$ irrasyoneldir. 

 Yani ; $\pi^2 $'nin irrasyonel olması $\pi$ 'nin irrasyonel olmasını gerektiriyor. 

1.Peki  $\pi$'nin irrasyonel olması $\pi^2$ nin  irrasyonel olmasını gerektirir mi ?  

Bir örnek olarak : $\sqrt2 \cong 1.4...$ Ama $\sqrt2^2=2$ 

2. Genel olarak $\pi^n$($n= $herhangi bir sayı )   rasyonel yapacak bir $ n $ sayısı bulunabilir mi ?

Comments

Soruyu ben sormustum, yanda da linki ilgili soru olarak gozukuyor su an.

Answer 1

Diger sorudan sonra buna soyle bir cevap verecegim. $\pi$ rasyonel sayilar cismi uzerinde askin bir sayidir. Bu su demek hicbir $p(x) \in \mathbb Q[x]$  polinomu icin $p(\pi)=0$ olamaz.

Simdi diyelim ki $\pi^n$ sayisi bir $q$ rasyonel sayisina esit olsun. Bu durumda $\pi$ sayisi $p(x)=x^n-q$ polinomunun koku olur. Bu da celiski verir. 

Bunu tum askin sayilar icin yapabiliriz. (Burada tabi biraz hile kullanmis oluyoruz).

Ek: Peki $\pi^n$ sayisi her $n\ge1$ icin gercel mi? Biz yukarida sadece rasyonel olamaz dedik. Gercel olur demedik. Gercel demeye ihtiyacimiz var, geriye irrasyonel olmak zorunda olmasi gerektigi kalsin diye.

Comments

Hocam haklısınız peki şunun hakkında ne söyleyebiliriz ; $e$ de $ \pi $ gibi irrasyonel ve aşkın bir sayı  ama sonuç olarak $e^n$( n sayısı için) bir rasyonel sayı bulunabiliyor. 

---

$e^n$ de rasyonel olamaz. Rasyonel olsa $e$ askin olamaz. Ayni mantik.  Ucuncu paragraf.

---

$e^{n}$ =$e^{i\pi}$

$n $ Gerçel olmayan sayısı için bir rasyonal sayı elde edebiliyoruz desek olur sanırım. 

matematik dünyası arşiinden  gerekli yerleri gördüm teşekkürler yanıt için.