Siklotomik polinomlar simetrik midir?

Question

Siklotomik polinomlar ($\Phi_n$) simetrik midir? $n\ge 2$ icin.

Polinomlarin tanimi (wiki-link-eng)

http://www.wikizero.biz/index.php?q=aHR0cHM6Ly9lbi53aWtpcGVkaWEub3JnL3dpa2kvQ3ljbG90b21pY19wb2x5bm9taWFs

Comments

Simetriğin tanımı?

---

$n$. dereceden bir polinomumuz olsun, ($\sum_{i=0}^na_ix^i$). Eger her $i$ icin $a_i=a_{n-i}$ ise polinom simetrik olur. Degilse olmaz.

---

Oncelikle n asal ise simetrik oldugu asikar cunku butun katsayilar 1 dir.

Yaptiginiz simetrik polinom tanimi, polinomun katsayilarin palindromik olmasiyla esdeger..

Ilk 10,000 siklotomik polinom simetriktir..

Buarada $\Phi_1(x)=x-1$ simetrik degildir(katsayilari palindromik degil)..

---

$n \ge 2$ olmali zaten. Onu eklemeyi unutmusum. Genel bir ispata cevirmek mumkun mu peki, bu palindromlardan?

---

simetrik'i "self-reciprocal" olarak degistirmek istiyorum ama "reciprocal"i "ters" olarak cevirmek istemiyorum. "evrik" diye bir anlami daha varmis.

Answer 1

Önce şunu belirtelim (linkte de var, orada "simetrik" olduğunu da söylüyor.)

$\Phi_n(x)$ in kökleri  birimin $n$-inci ilkel (primitive) kökleridir (hepsi basit). 

$z$, biriminin bir ilkel köküdür $\Leftrightarrow$ $z^{-1}$  birimin bir ilkel köküdür.

Ayrıca $n>2$ için $z\neq z^{-1}$ dir. ($z=z^{-1}$ ise $z^2=1$ olur, $z$ ilkel kök olamaz)

Bunun sonucu olarak:$\phi(n),\ n>2$ için daima çifttir (bunun doğrudan gösterilmesi de basit bir soru olur)

Buradan ($k=\phi(n)$=ilkel köklerin sayısı olmak üzere)

$\Phi_n(x)$ ve $x^{k}\Phi_n(\frac1x)$ aynı köklere ($k$ tane basit kök) sahip aynı dereceli iki 

 polinomdur. $\Phi_n(x)$ in başkatsayısı 1, $x^k\Phi_n(\frac1x)$ in başkatsayısı $(-1)^k$ dır. 

$n>2$ için $k$ çift olduğundan, onun da başkatsayısı 1 dir. Bu nedenle eşittirler. 

$n=2$ için tek ilkel kök $-1$ dir. $z=z^{-1}$ simetri doğrudan $x\Phi_2(\frac1x)=x(\frac1x-z)=x(\frac1x-\frac1z)=\frac{z-x}z=x-z=\Phi_2(x)$) görülür.

$\Phi_n(x)=x^{k}\Phi_n(\frac1x)$ olması $\Phi_n(x)$ in simetrik olması demektir.