Polinomlar için pell denklemi

Question

$q$, $4k+1$ formatında bir asal sayı olsun. O halde her $x$ için $$P^2(x)-qQ^2(x)=4(x^{q-1}+x^{q-2}+\cdots+x^2+x+1)$$ eşitliğini sağlayan tam sayı katsayılı $P$ ve $Q$ polinomları olduğunu gösteriniz.

Örnek: $q=5$ için $P(x)=2x^2+x+2$ ve $Q(x)=x$ polinomları denklemi sağlar.

Matematikte hiçbir konuya başka bir konuyla alakasız dememek lazım. Bu soruyu Dirichlet'in ünlü "$(a,b)=1$ ise $ak+b$ formatında sonsuz asal sayı vardır" teoreminin ispatını anlamaya çalışırken buldum.

Comments

Çok ilginç ve zor görünüyor. Soruya bakınca "Dirichlet'nin asal sayı teoremiyle ne alakası olabilir?" dedirtiyor.

---

On the zeta functions of supersingular curves
Bu makaledeki Lemma 3'e bakarsan $\mathbb Q(\sqrt q)$ içerisinde $q$. siklotomik polinom iki çarpana ayrılıyor.
Ek olarak (üzerine düşünmedim ama kolay çıkar gibi) katsayıların $\mathbb Q(\sqrt q)$ değil de $\mathbb Z[\sqrt q/2]$ içerisinde olduğunu göstermek kalıyor. 

---

Biliyorsunuz ki sonsuz sayıda asal sayı olduğunun çeşitli ispatları var Lokman hocam. Bu ispatlardan biri de $\sum \frac{1}{p}$ toplamının ıraksadığını göstermek. Dirichlet de benzer bir mantık kullanarak, yeni bir toplam tanıplayıp onun ıraksadığını göstermeye çalışıyor. Kulağa basit bir iş gibi geliyor ama oldukça uzun bir ispat ve birçok farklı lemma kullanılması gerekiyor. İlginizi çekerse, bu sorunun da karşıma çıktığı, Davenport'un "Multiplicative Number Theory" kitabına bakabilirsiniz.

Sercan hocam, yorumunuz için teşekkür ederim. Verdiğiniz makalenize göz attım. Bireysel çalışmam için de güzel bir makale olduğunu düşünüyorum, elinize sağlık.

Answer 1

Verilen denklemi düzenlersek $$\left(\frac{1}{2}\left(P(x)-\sqrt{q}Q(x)\right)\right)\left(\frac{1}{2}\left(P(x)+\sqrt{q}Q(x)\right)\right)=x^{q-1}+x^{q-2}+\cdots+x+1$$ olacaktır. Sağ tarafın kökleri $i=1,2,\dots, q-1$ için $e^{\frac{2\pi i}{q}}$ şeklindedir veya $\zeta=e^{\frac{2\pi i}{q}}$ için $\zeta^i$ formatındadır. Yani, $$\left(\frac{1}{2}\left(P(x)-\sqrt{q}Q(x)\right)\right)\left(\frac{1}{2}\left(P(x)+\sqrt{q}Q(x)\right)\right)=\prod_{i=1}^{q-1}(x-\zeta^i)$$ olacaktır. Sağ tarafı uygun şekilde iki polinomun çarpımı olarak yazmaya çalışmalıyız. Bu ayırdığımız polinomların dereceleri aynı olmalıdır çünkü $P(x)-\sqrt{q}Q(x)$ ve $P(x)+\sqrt{q}Q(x)$ polinomlarının dereceleri aynı olmalıdır. Dolayısıyla ikisi de $\left(\frac{q-1}{2}\right)$. dereceden polinomlardır. Eşitliğin sağ tarafını eşit dereceli iki polinoma birçok farklı şekilde ayırabiliriz ama bir mantığa göre ayırmamız işimize gelecektir. $q$ modunda tam olarak $\frac{q-1}{2}$ tane karekalan olduğunu biliyoruz. Farklı ayırmalar ile belki farklı çözümler gelebilir ama bu çözümün devamında $i$'nin karekalan olup olmamasına göre ayıracağız. $R$ ile karekalanları $N$ ile karekalan olmayan kalanları gösterelim ($0$ karekalan değildir), $$\prod_{i=1}^{q-1}(x-\zeta^i)=\left(\prod (x-\zeta^R)\right)\left(\prod (x-\zeta^N)\right)$$ olarak ayıralım ve bu polinomların istenileni sağladığını gösterelim. Şimdi $\prod (x-\zeta^R)$ ve $\prod (x-\zeta^N)$ polinomlarını $x$'e bağlı polinomlar yerine $\{\zeta, \zeta^2,\dots,\zeta^{q-1}\}$ sayılarının linear kombinasyonları olarak yazalım. Örnek vermek gerekirse, $q=5$ için $$\prod (x-\zeta^R)=(x-\zeta)(x-\zeta^4)=x^2-(\zeta+\zeta^4)x+1=-(x^2+1)(\zeta+\zeta^2+\zeta^3+\zeta^4)-(\zeta+\zeta^4)x$$ $$=-(x^2+x+1)\zeta-(x^2+1)\zeta^2-(x^2+1)\zeta^3-(x^2+x+1)\zeta^4$$ Örnekten de anlaşılabileceği gibi $\zeta^i$'ye göre sabit terimleri $1=-\zeta-\zeta^2-\cdots-\zeta^{q-1}$ yazarak istediğimiz hale getirebiliriz. Ayrıca bazı katsayıların da aynı olduğu görülebilir. Gösterim kolaylığı için bu polinoma $F_1(\zeta)$ diyelim yani $x$'e bağlı $\zeta$'lı katsayılardan oluşan bir polinom yerine $\zeta$'ya bağlı $x$'li katsayılardan oluşan bir polinom gibi düşünelim. Karekalan olmayan polinoma da $F_2(\zeta)$ diyelim. Bu durumda eğer $m$ karekalansa $$F_1(\zeta^m)=F_1(\zeta)$$ $$F_2(\zeta^m)=F_2(\zeta)$$ elde edilir. Aynı polinom olduklarından, $F_1(\zeta)$ ve $F_2(\zeta)$'nın açılımında eğer $i\equiv mj\pmod{q}$ sağlanıyorsa $\zeta^i$ ve $\zeta^j$'nin katsayıları aynı olmalıdır. Buradan da yukarıdaki örnekte olduğı gibi karekalan olan kuvvetlerin katsayıları aynı olur. Benzer şekilde karekalan olmayanların da katsayıları aynıdır. Buradan $F_1$ ve $F_2$'yi $A_i$'ler tam sayı katsayılı polinomlar olmak üzere $$F_1(\zeta)=A_1(x)\sum \zeta^R+A_2(x)\sum \zeta^N\tag{1}$$ $$F_2(\zeta)=A_3(x)\sum \zeta^R+A_4(x)\sum \zeta^N\tag{2}$$ olarak yazabiliriz. Eğer $m$ karekalan değilse de $$F_1(\zeta^m)=F_2(\zeta)$$ olacaktır. Buradan da aslında $A_1\equiv A_4$ ve $A_2\equiv A_3$ olduğu ortaya çıkar.

Şimdi de $n_0=\sum \zeta^R$ ve $n_1=\sum \zeta^N$ diyelim. $$n_0+n_1=\sum_{i=1}^{q-1}\zeta^i=-1$$ $$n_0-n_1=\sum \zeta^R-\sum \zeta^N=\sum \left(\dfrac{R}{q}\right)\zeta^R+\sum \left(\dfrac{N}{q}\right)\zeta^N=\sum_{m=1}^{q-1} \left(\dfrac{m}{q}\right)\zeta^m$$ elde edilir. $n_0-n_1=G$ dersek $$G^2=\sum_{m_1=1}^{q-1}\sum_{m_2=1}^{q-1}\left(\dfrac{m_1m_2}{q}\right)\zeta^{m_1+m_2}$$ olur. Tüm değişkenler $q$ modunda tekrar ediyor. Dolayısıyla $m_2\equiv m_1n\pmod{q}$ yazarsak $$G^2=\sum_{m_1=1}^{q-1}\sum_{n=1}^{q-1}\left(\dfrac{n}{q}\right)\zeta^{m_1(n+1)}=\sum_{n=1}^{q-1}\sum_{m_1=1}^{q-1}\left(\dfrac{n}{q}\right)\zeta^{m_1(n+1)}$$ olur. İç toplamda eğer $n\equiv -1\pmod{q}$ ise $$\sum_{m_1=1}^{q-1}\zeta^{m_1(n+1)}=q-1$$ değilse, $-1$ olacaktır. Dolayısıyla $G^2=q\left(\dfrac{-1}{q}\right)+\sum_{n=1}^{q-1}\left(\dfrac{n}{q}\right)(-1)=q\left(\dfrac{-1}{q}\right)$ olacaktır. $q$, $4k+1$ formatında olduğundan $G^2=q$ ve $G=\pm \sqrt{q}$ olarak bulunur. İşaretini bilmediğimizden şimdilik ona $\epsilon \sqrt{q}$ diyelim. Bu durumda $n_0=\frac{1}{2}(-1+\epsilon\sqrt{q})$ ve $n_1=\frac{1}{2}(-1-\epsilon\sqrt{q})$ bulunur. $(1)$ ve $(2)$'de yazarsak $$\prod (x-\zeta^R)=\frac{1}{2}\left((-A_1(x)-A_2(x))+\epsilon\sqrt{q}(A_1(x)-A_2(x))\right)$$ $$\prod (x-\zeta^N)=\frac{1}{2}\left((-A_1(x)-A_2(x))-\epsilon\sqrt{q}(A_1(x)-A_2(x))\right)$$ bulunur. $-A_1(x)-A_2(x)=P(x)$ ve $\epsilon(A_1(x)-A_2(x))=Q(x)$ dersek istenilen sağlanır. Soru biter.

Sonuç 1: Eğer $q\equiv 3\pmod{4}$ olsaydı $G^2=-q$ olacağından aynı işlemleri yaparak $$P^2(x)+qQ^2(x)=4(x^{q-1}+x^{q-2}+\cdots+x+1)$$ olacak şekilde tam sayı katsayılı $P$ ve $Q$ polinomları bulabiliriz.

Sonuç 2: $G=n_0-n_1=\sum\zeta^R-\sum\zeta^N=1+2\sum\zeta^R$ olduğundan $G=\sum_{m=0}^{q-1} \zeta^{m^2}$ olur çünkü $m^2$ ifadesi $q$ modunda karekalanları tam olarak $2$ defa $m=0$ için de $0$'ı tam olarak bir kere alır. 

Not 1: Sonuç $2$'yi genelleştirirsek $N$ pozitif tamsayısı ve $\zeta_N=e^{\frac{2\pi i}{N}}$ için $$\sum_{m=0}^{N-1} \zeta_N^{m^2}=\begin{cases} (1+i)\sqrt{N} \quad &\text{eğer} \, N\equiv 0\pmod{4}~~ \text{ise} \\  \sqrt{N} \quad &\text{eğer} \, N\equiv 1\pmod{4}~~ \text{ise} \\  0 \quad &\text{eğer} \, N\equiv 2\pmod{4}~~ \text{ise}\\  i\sqrt{N} \quad &\text{eğer} \, N\equiv 3\pmod{4}~~ \text{ise} \\ \end{cases}$$

Not 2: Not 1'in sonucu olarak eğer $q\equiv 1\pmod{4}$ ise $G=\sqrt{q}$, eğer $q\equiv 3\pmod{4}$ ise $G=i\sqrt{q}$ bulunur.