sabit ölçü bulma

Question

Pell sayıları dizisi $(P_k)_{k=0}^\infty=0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, 5741, 13860, \dots$

şu mükerrer bağıntıyla tanımlanır: $P_0=0$, $P_1=1$ ve $P_{k}=2P_{k-1}+P_{k-2}$.

Aşağıdaki toplamla tanımlanan ${\mathscr L}$ operatörünün bir sabit fonksiyonun bulun (öncelikle $s=1$ özel durumu için)

$$({\mathscr L}_{s, \alpha} \psi)(y)=\sum_{i=1}^\infty \frac{1}{(P_{i+1}y+P_{i})^{2s}} \psi\left(\frac{P_iy+P_{i-1}}{P_{i+1}y+P_{i}}\right)+\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$$

$$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\sum_{j=1}^\infty \frac{1}{(P_{j+1}y+P_{j+1}+P_{j})^{2s}} \psi\left(\frac{P_jy+P_j+P_{j-1}}{P_{j+1}y+P_{j+1}+P_{j}}\right)$$

 

Not. Sabit fonksiyon demek ${\mathscr L}_{s, \alpha} \psi=\psi$ demek. (Mevcut olduğunu bilmiyorum ama inanıyorum.)