Verilen denklemi düzenlersek (12(P(x)−√qQ(x)))(12(P(x)+√qQ(x)))=xq−1+xq−2+⋯+x+1 olacaktır. Sağ tarafın kökleri i=1,2,…,q−1 için e2πiq şeklindedir veya ζ=e2πiq için ζi formatındadır. Yani, (12(P(x)−√qQ(x)))(12(P(x)+√qQ(x)))=q−1∏i=1(x−ζi) olacaktır. Sağ tarafı uygun şekilde iki polinomun çarpımı olarak yazmaya çalışmalıyız. Bu ayırdığımız polinomların dereceleri aynı olmalıdır çünkü P(x)−√qQ(x) ve P(x)+√qQ(x) polinomlarının dereceleri aynı olmalıdır. Dolayısıyla ikisi de (q−12). dereceden polinomlardır. Eşitliğin sağ tarafını eşit dereceli iki polinoma birçok farklı şekilde ayırabiliriz ama bir mantığa göre ayırmamız işimize gelecektir. q modunda tam olarak q−12 tane karekalan olduğunu biliyoruz. Farklı ayırmalar ile belki farklı çözümler gelebilir ama bu çözümün devamında i'nin karekalan olup olmamasına göre ayıracağız. R ile karekalanları N ile karekalan olmayan kalanları gösterelim (0 karekalan değildir), q−1∏i=1(x−ζi)=(∏(x−ζR))(∏(x−ζN)) olarak ayıralım ve bu polinomların istenileni sağladığını gösterelim. Şimdi ∏(x−ζR) ve ∏(x−ζN) polinomlarını x'e bağlı polinomlar yerine {ζ,ζ2,…,ζq−1} sayılarının linear kombinasyonları olarak yazalım. Örnek vermek gerekirse, q=5 için ∏(x−ζR)=(x−ζ)(x−ζ4)=x2−(ζ+ζ4)x+1=−(x2+1)(ζ+ζ2+ζ3+ζ4)−(ζ+ζ4)x =−(x2+x+1)ζ−(x2+1)ζ2−(x2+1)ζ3−(x2+x+1)ζ4 Örnekten de anlaşılabileceği gibi ζi'ye göre sabit terimleri 1=−ζ−ζ2−⋯−ζq−1 yazarak istediğimiz hale getirebiliriz. Ayrıca bazı katsayıların da aynı olduğu görülebilir. Gösterim kolaylığı için bu polinoma F1(ζ) diyelim yani x'e bağlı ζ'lı katsayılardan oluşan bir polinom yerine ζ'ya bağlı x'li katsayılardan oluşan bir polinom gibi düşünelim. Karekalan olmayan polinoma da F2(ζ) diyelim. Bu durumda eğer m karekalansa F1(ζm)=F1(ζ) F2(ζm)=F2(ζ) elde edilir. Aynı polinom olduklarından, F1(ζ) ve F2(ζ)'nın açılımında eğer i\equiv mj\pmod{q} sağlanıyorsa \zeta^i ve \zeta^j'nin katsayıları aynı olmalıdır. Buradan da yukarıdaki örnekte olduğı gibi karekalan olan kuvvetlerin katsayıları aynı olur. Benzer şekilde karekalan olmayanların da katsayıları aynıdır. Buradan F_1 ve F_2'yi A_i'ler tam sayı katsayılı polinomlar olmak üzere F_1(\zeta)=A_1(x)\sum \zeta^R+A_2(x)\sum \zeta^N\tag{1} F_2(\zeta)=A_3(x)\sum \zeta^R+A_4(x)\sum \zeta^N\tag{2} olarak yazabiliriz. Eğer m karekalan değilse de F_1(\zeta^m)=F_2(\zeta) olacaktır. Buradan da aslında A_1\equiv A_4 ve A_2\equiv A_3 olduğu ortaya çıkar.
Şimdi de n_0=\sum \zeta^R ve n_1=\sum \zeta^N diyelim. n_0+n_1=\sum_{i=1}^{q-1}\zeta^i=-1 n_0-n_1=\sum \zeta^R-\sum \zeta^N=\sum \left(\dfrac{R}{q}\right)\zeta^R+\sum \left(\dfrac{N}{q}\right)\zeta^N=\sum_{m=1}^{q-1} \left(\dfrac{m}{q}\right)\zeta^m elde edilir. n_0-n_1=G dersek G^2=\sum_{m_1=1}^{q-1}\sum_{m_2=1}^{q-1}\left(\dfrac{m_1m_2}{q}\right)\zeta^{m_1+m_2} olur. Tüm değişkenler q modunda tekrar ediyor. Dolayısıyla m_2\equiv m_1n\pmod{q} yazarsak G^2=\sum_{m_1=1}^{q-1}\sum_{n=1}^{q-1}\left(\dfrac{n}{q}\right)\zeta^{m_1(n+1)}=\sum_{n=1}^{q-1}\sum_{m_1=1}^{q-1}\left(\dfrac{n}{q}\right)\zeta^{m_1(n+1)} olur. İç toplamda eğer n\equiv -1\pmod{q} ise \sum_{m_1=1}^{q-1}\zeta^{m_1(n+1)}=q-1 değilse, -1 olacaktır. Dolayısıyla G^2=q\left(\dfrac{-1}{q}\right)+\sum_{n=1}^{q-1}\left(\dfrac{n}{q}\right)(-1)=q\left(\dfrac{-1}{q}\right) olacaktır. q, 4k+1 formatında olduğundan G^2=q ve G=\pm \sqrt{q} olarak bulunur. İşaretini bilmediğimizden şimdilik ona \epsilon \sqrt{q} diyelim. Bu durumda n_0=\frac{1}{2}(-1+\epsilon\sqrt{q}) ve n_1=\frac{1}{2}(-1-\epsilon\sqrt{q}) bulunur. (1) ve (2)'de yazarsak \prod (x-\zeta^R)=\frac{1}{2}\left((-A_1(x)-A_2(x))+\epsilon\sqrt{q}(A_1(x)-A_2(x))\right) \prod (x-\zeta^N)=\frac{1}{2}\left((-A_1(x)-A_2(x))-\epsilon\sqrt{q}(A_1(x)-A_2(x))\right) bulunur. -A_1(x)-A_2(x)=P(x) ve \epsilon(A_1(x)-A_2(x))=Q(x) dersek istenilen sağlanır. Soru biter.
Sonuç 1: Eğer q\equiv 3\pmod{4} olsaydı G^2=-q olacağından aynı işlemleri yaparak P^2(x)+qQ^2(x)=4(x^{q-1}+x^{q-2}+\cdots+x+1) olacak şekilde tam sayı katsayılı P ve Q polinomları bulabiliriz.
Sonuç 2: G=n_0-n_1=\sum\zeta^R-\sum\zeta^N=1+2\sum\zeta^R olduğundan G=\sum_{m=0}^{q-1} \zeta^{m^2} olur çünkü m^2 ifadesi q modunda karekalanları tam olarak 2 defa m=0 için de 0'ı tam olarak bir kere alır.
Not 1: Sonuç 2'yi genelleştirirsek N pozitif tamsayısı ve \zeta_N=e^{\frac{2\pi i}{N}} için \sum_{m=0}^{N-1} \zeta_N^{m^2}=\begin{cases} (1+i)\sqrt{N} \quad &\text{eğer} \, N\equiv 0\pmod{4}~~ \text{ise} \\ \sqrt{N} \quad &\text{eğer} \, N\equiv 1\pmod{4}~~ \text{ise} \\ 0 \quad &\text{eğer} \, N\equiv 2\pmod{4}~~ \text{ise}\\ i\sqrt{N} \quad &\text{eğer} \, N\equiv 3\pmod{4}~~ \text{ise} \\ \end{cases}
Not 2: Not 1'in sonucu olarak eğer q\equiv 1\pmod{4} ise G=\sqrt{q}, eğer q\equiv 3\pmod{4} ise G=i\sqrt{q} bulunur.