Processing math: 47%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
2 beğenilme 0 beğenilmeme
1.1k kez görüntülendi

q, 4k+1 formatında bir asal sayı olsun. O halde her x için P2(x)qQ2(x)=4(xq1+xq2++x2+x+1) eşitliğini sağlayan tam sayı katsayılı P ve Q polinomları olduğunu gösteriniz.

Örnek: q=5 için P(x)=2x2+x+2 ve Q(x)=x polinomları denklemi sağlar.

Matematikte hiçbir konuya başka bir konuyla alakasız dememek lazım. Bu soruyu Dirichlet'in ünlü "(a,b)=1 ise ak+b formatında sonsuz asal sayı vardır" teoreminin ispatını anlamaya çalışırken buldum.

Akademik Matematik kategorisinde (127 puan) tarafından 
tarafından yeniden etikenlendirildi | 1.1k kez görüntülendi
Çok ilginç ve zor görünüyor. Soruya bakınca "Dirichlet'nin asal sayı teoremiyle ne alakası olabilir?" dedirtiyor.

On the zeta functions of supersingular curves
Bu makaledeki Lemma 3'e bakarsan Q(q) içerisinde q. siklotomik polinom iki çarpana ayrılıyor.
Ek olarak (üzerine düşünmedim ama kolay çıkar gibi) katsayıların Q(q) değil de Z[q/2] içerisinde olduğunu göstermek kalıyor. 

Biliyorsunuz ki sonsuz sayıda asal sayı olduğunun çeşitli ispatları var Lokman hocam. Bu ispatlardan biri de 1p toplamının ıraksadığını göstermek. Dirichlet de benzer bir mantık kullanarak, yeni bir toplam tanıplayıp onun ıraksadığını göstermeye çalışıyor. Kulağa basit bir iş gibi geliyor ama oldukça uzun bir ispat ve birçok farklı lemma kullanılması gerekiyor. İlginizi çekerse, bu sorunun da karşıma çıktığı, Davenport'un "Multiplicative Number Theory" kitabına bakabilirsiniz.

Sercan hocam, yorumunuz için teşekkür ederim. Verdiğiniz makalenize göz attım. Bireysel çalışmam için de güzel bir makale olduğunu düşünüyorum, elinize sağlık.

1 cevap

2 beğenilme 0 beğenilmeme

Verilen denklemi düzenlersek (12(P(x)qQ(x)))(12(P(x)+qQ(x)))=xq1+xq2++x+1 olacaktır. Sağ tarafın kökleri i=1,2,,q1 için e2πiq şeklindedir veya ζ=e2πiq için ζi formatındadır. Yani, (12(P(x)qQ(x)))(12(P(x)+qQ(x)))=q1i=1(xζi) olacaktır. Sağ tarafı uygun şekilde iki polinomun çarpımı olarak yazmaya çalışmalıyız. Bu ayırdığımız polinomların dereceleri aynı olmalıdır çünkü P(x)qQ(x) ve P(x)+qQ(x) polinomlarının dereceleri aynı olmalıdır. Dolayısıyla ikisi de (q12). dereceden polinomlardır. Eşitliğin sağ tarafını eşit dereceli iki polinoma birçok farklı şekilde ayırabiliriz ama bir mantığa göre ayırmamız işimize gelecektir. q modunda tam olarak q12 tane karekalan olduğunu biliyoruz. Farklı ayırmalar ile belki farklı çözümler gelebilir ama bu çözümün devamında i'nin karekalan olup olmamasına göre ayıracağız. R ile karekalanları N ile karekalan olmayan kalanları gösterelim (0 karekalan değildir), q1i=1(xζi)=((xζR))((xζN)) olarak ayıralım ve bu polinomların istenileni sağladığını gösterelim. Şimdi (xζR) ve (xζN) polinomlarını x'e bağlı polinomlar yerine {ζ,ζ2,,ζq1} sayılarının linear kombinasyonları olarak yazalım. Örnek vermek gerekirse, q=5 için (xζR)=(xζ)(xζ4)=x2(ζ+ζ4)x+1=(x2+1)(ζ+ζ2+ζ3+ζ4)(ζ+ζ4)x =(x2+x+1)ζ(x2+1)ζ2(x2+1)ζ3(x2+x+1)ζ4 Örnekten de anlaşılabileceği gibi ζi'ye göre sabit terimleri 1=ζζ2ζq1 yazarak istediğimiz hale getirebiliriz. Ayrıca bazı katsayıların da aynı olduğu görülebilir. Gösterim kolaylığı için bu polinoma F1(ζ) diyelim yani x'e bağlı ζ'lı katsayılardan oluşan bir polinom yerine ζ'ya bağlı x'li katsayılardan oluşan bir polinom gibi düşünelim. Karekalan olmayan polinoma da F2(ζ) diyelim. Bu durumda eğer m karekalansa F1(ζm)=F1(ζ) F2(ζm)=F2(ζ) elde edilir. Aynı polinom olduklarından, F1(ζ) ve F2(ζ)'nın açılımında eğer i\equiv mj\pmod{q} sağlanıyorsa \zeta^i ve \zeta^j'nin katsayıları aynı olmalıdır. Buradan da yukarıdaki örnekte olduğı gibi karekalan olan kuvvetlerin katsayıları aynı olur. Benzer şekilde karekalan olmayanların da katsayıları aynıdır. Buradan F_1 ve F_2'yi A_i'ler tam sayı katsayılı polinomlar olmak üzere F_1(\zeta)=A_1(x)\sum \zeta^R+A_2(x)\sum \zeta^N\tag{1} F_2(\zeta)=A_3(x)\sum \zeta^R+A_4(x)\sum \zeta^N\tag{2} olarak yazabiliriz. Eğer m karekalan değilse de F_1(\zeta^m)=F_2(\zeta) olacaktır. Buradan da aslında A_1\equiv A_4 ve A_2\equiv A_3 olduğu ortaya çıkar.

Şimdi de n_0=\sum \zeta^R ve n_1=\sum \zeta^N diyelim. n_0+n_1=\sum_{i=1}^{q-1}\zeta^i=-1 n_0-n_1=\sum \zeta^R-\sum \zeta^N=\sum \left(\dfrac{R}{q}\right)\zeta^R+\sum \left(\dfrac{N}{q}\right)\zeta^N=\sum_{m=1}^{q-1} \left(\dfrac{m}{q}\right)\zeta^m elde edilir. n_0-n_1=G dersek G^2=\sum_{m_1=1}^{q-1}\sum_{m_2=1}^{q-1}\left(\dfrac{m_1m_2}{q}\right)\zeta^{m_1+m_2} olur. Tüm değişkenler q modunda tekrar ediyor. Dolayısıyla m_2\equiv m_1n\pmod{q} yazarsak G^2=\sum_{m_1=1}^{q-1}\sum_{n=1}^{q-1}\left(\dfrac{n}{q}\right)\zeta^{m_1(n+1)}=\sum_{n=1}^{q-1}\sum_{m_1=1}^{q-1}\left(\dfrac{n}{q}\right)\zeta^{m_1(n+1)} olur. İç toplamda eğer n\equiv -1\pmod{q} ise \sum_{m_1=1}^{q-1}\zeta^{m_1(n+1)}=q-1 değilse, -1 olacaktır. Dolayısıyla G^2=q\left(\dfrac{-1}{q}\right)+\sum_{n=1}^{q-1}\left(\dfrac{n}{q}\right)(-1)=q\left(\dfrac{-1}{q}\right) olacaktır. q, 4k+1 formatında olduğundan G^2=q ve G=\pm \sqrt{q} olarak bulunur. İşaretini bilmediğimizden şimdilik ona \epsilon \sqrt{q} diyelim. Bu durumda n_0=\frac{1}{2}(-1+\epsilon\sqrt{q}) ve n_1=\frac{1}{2}(-1-\epsilon\sqrt{q}) bulunur. (1) ve (2)'de yazarsak \prod (x-\zeta^R)=\frac{1}{2}\left((-A_1(x)-A_2(x))+\epsilon\sqrt{q}(A_1(x)-A_2(x))\right) \prod (x-\zeta^N)=\frac{1}{2}\left((-A_1(x)-A_2(x))-\epsilon\sqrt{q}(A_1(x)-A_2(x))\right) bulunur. -A_1(x)-A_2(x)=P(x) ve \epsilon(A_1(x)-A_2(x))=Q(x) dersek istenilen sağlanır. Soru biter.

Sonuç 1: Eğer q\equiv 3\pmod{4} olsaydı G^2=-q olacağından aynı işlemleri yaparak P^2(x)+qQ^2(x)=4(x^{q-1}+x^{q-2}+\cdots+x+1) olacak şekilde tam sayı katsayılı P ve Q polinomları bulabiliriz.

Sonuç 2: G=n_0-n_1=\sum\zeta^R-\sum\zeta^N=1+2\sum\zeta^R olduğundan G=\sum_{m=0}^{q-1} \zeta^{m^2} olur çünkü m^2 ifadesi q modunda karekalanları tam olarak 2 defa m=0 için de 0'ı tam olarak bir kere alır. 

Not 1: Sonuç 2'yi genelleştirirsek N pozitif tamsayısı ve \zeta_N=e^{\frac{2\pi i}{N}} için \sum_{m=0}^{N-1} \zeta_N^{m^2}=\begin{cases} (1+i)\sqrt{N} \quad &\text{eğer} \, N\equiv 0\pmod{4}~~ \text{ise} \\  \sqrt{N} \quad &\text{eğer} \, N\equiv 1\pmod{4}~~ \text{ise} \\  0 \quad &\text{eğer} \, N\equiv 2\pmod{4}~~ \text{ise}\\  i\sqrt{N} \quad &\text{eğer} \, N\equiv 3\pmod{4}~~ \text{ise} \\ \end{cases}

Not 2: Not 1'in sonucu olarak eğer q\equiv 1\pmod{4} ise G=\sqrt{q}, eğer q\equiv 3\pmod{4} ise G=i\sqrt{q} bulunur.

(127 puan) tarafından 
20,312 soru
21,868 cevap
73,589 yorum
2,859,750 kullanıcı