İrrasyonel bir sayı herhangi bir ölçüm sonucu olarak verilebilir mi?

Question

Bazı geometri sorularında bazı uzunluklar, $\sqrt{2}$ ya da $3+\sqrt{5}$ veya başka bir irrasyonel sayı olarak veriliyor. Böyle soru ne kadar doğrudur? Ölçüm sonucu irrasyonel olur mu?

Bana göre hiç bir ölçme sonucu irrasyonel olamaz. Ancak verilerden hesaplama sonucu irrasyonel değerler bulunabilir. Dolayısıyla bu tip soruların kurgusunun yanlış olduğunu söyleyebiliriz diye düşünüyorum.

Comments

Igor Volovich ve öncüsü olduğu Functional Mechanics konusu bu tip tartışmalardan yola çıkıyor. Cihazlar bize rasyonel sayılar veriyor, dolayısıyla ölçüm tabiatı itibariyle bir belirsizlik içeriyor. Fakat bu istatistikî belirsizlikten farklı... Peki böyle bir sistemi nasıl tasvir edebiliriz? Kayıpları nasıl gözönüne alabiliriz? Bu sorulardan yola çıkılarak Functional mechanics (fonksiyonel mekanik) geliştiriliyor. Modern matematiksel fiziğin güncel konularından...

https://www.researchgate.net/publication/225168018_Functional_classical_mechanics_and_rational_numbers

Answer 1

Soruların kurgusunun yanlış olduğunu söylemek pek doğru değil. Sonuçta matematik dışarıda "gerçekten" bulunan objelerle ilgilenmiyor, bunların ideal halleriyle ve soyutlamalarıyla ilgileniyor. Matematiksel dünyada var olan her obje de "gerçekte" bir şeye karşılık gelmek zorunda değil.

Gerçek hayatta hiçbir zaman mükemmel bir kare yapamayız tabii. Öte yandan bu, göklerde bir yerde Platon'un idealar dünyasında var olan bir karenin köşegeninin bir kenarına oranının karesini aldığımızda 2 elde edeceğimizi söylemeye bir engel değil. Zira bu, ölçüm sonucunda elde edilen bir bilgi değil, daha çok mantıksal bir zorunluluk. Dolayısıyla dışarıda gerçekten bir kare olup olmamasıyla ya da bir kare çizmeye çalışsak ölçümümüzde ne kadar hata olacağıyla ilgili de değil.

Answer 2

Ölçüm sonucunda cevabın rasyonel olabileceğini nereden biliyoruz ki? 

Fiziksel dünyada yapılan ölçümler illa ki hata içerirler. Dolayısıyla siz bir kanepenin boyunu ölçtüğünüzde bulduğunuz sayı bir metrenin ne rasyonel bir katıdı ne de irrasyonel bir katıdır. Bu tip ince ayrıntılar bir belirsizlik bulutunda kaybolmuştur.

Ancak diyelim ki tam ölçüm yapabilmeniz mümkün. O zaman rasyonel sayılar kadar irrasyonel sayıları da bulabilirsini. Zaten bu birim ölçü biriminize bağlıdır. Temel ölçü birimi diyag ($1$ diyag = $\sqrt{2}$ metre) olan Marslılara göre ölçtüğünüz 2 metre, irrasyonel bir uzunluktur.

Answer 3

Soruna tam olarak cevap verir mi bilmiyorum ama ben de bir seyler karaliyim.

Herkes bahsetmis ama kimse tam adini vermemis: Ingilizcesi Ruler and Compass Constructions, Turkcesi de buyuk ihtimalle Cetvel ve Pergel Insaalari olabilecek bir konu var matematikte. Bence ya matematiksel yapilara giris dersinde ya da cisim teorisi dersinde mutlaka gosterilmesi gereken bir konu. Azicik aradim, ama Turkce kaynak bulamadim. Belki bu yaz birileri yardim ederse ben oturur yazarim.

Elinde 1 birim uzunlugunda (diyelim 1 metre) bir cetvel ve bir de pergel olsun. Bunlari kullanarak neler elde edebilirsin? Bu Antik Yunan zamanindan beri insanlarin ustunde kafa patlattigi bir sey ve baya da guzel sorular sormuslar hakkaten. Bunun teorisini de 19. yuzyilda kurmusuz.

Oncelikle cok cok eskiden beri bliinen sunlar var: 

1 metrelik bir cizgi cizebilirim.

1 metrelik cizgime dik olan, 1 metre uzunlugunda bir dogru parcasi cizebilirim.

Her dogal sayiyi (her dogal sayi icin o uzunlukta bir cizgi-dogru parcasi) cizebilirlim.

Kenarlari 1 metre olan bir kare cizebilirim.

Elimde kenarlari 1 metre olan bir kare varsa, pergelimin iki ucunu karenin birbirine komsu olmayan iki kosesine koyarsam, pergelimin uclari $\sqrt{2}$ metre acilmis olur. Demek ki $\sqrt{2}$'yi cizebilirlim.

Istedigim dogru parcasiyla 60 derece aci yapan baska bir dogru parcasi cizebillirim. 

Kenar uzunlugunu elde edebiliyorsam, bir kenari o kadar olan eskenar ucgen ya da duzgun altigen cizebilirlim.

Pisagor teoremi sagolsun, butun $n$ pozitif dogal sayilari icin $\sqrt{n}$ uzunlugunu cizebiilirim.

Asil bombalar geliyor:

Eger $a$ ve $b$ uzunluklarini cizebilirsem, uc uca ekleyerek $a + b$'yi cizebilirim. ( $3 + \sqrt{5}$'te sorun yok yani.)

$a - b$'yi cizebilirim.

$a \times b$'yi cizebilirim? (Nasil?)

$\frac{1}{a}$'yi cizebillirim, dolayisiyla her (pozitif) $\frac{a}{b}$'yi cizebilirim.

Bana bir aci verirsen, o aciyi tam olarak ikiye bolebilirim.

Dolayisiyla, mesela verilen bir acinin 1,5 katini da cizebilirlim.

xxxx

Yani eger $1$ birim uzunlugu cizebilecegime inaniyorsan, $\frac{\sqrt{2}+ \sqrt{3}}{2}$ birim uzunlugunu da cizebilecegime inanabilirsin bence.

xxxx

Ama! Yalnizca cetvel ve pergel kullanarak butun uzunluklari cizebilir misin? Ya da istedigin aciyi elde edebilir misin?

Iste matematikcileri Antik Yunan'dan (hatta buyuk olasilikla cok daha oncesinden) yuzyillardir dusunduren birkac soru:

1) Sana kenarlari 1 birim olan bir kup versem, hacmi bu kupun tamamen 2 kati olan baska bir kup elde edebilir misin? (Yalniz cetvel ve pergel kullanabilirsin) Ingilizcesi icin "doubling a cube"

2) Sana herhangi bir aci versem, bu aciyi tam 3 esit parcaya bolebilir misin? (Yalniz cetvel ve pergel kullanabilirsin) Ingilizcesi icin "trisecting an angle"

Gunumuzde bu 2 soruya da cok basit cisim teorisi ile cevap vermek mumkun. Ama iste bazen, cok bariz gibi gorunen bir seyi ispatlamak icin gerekli olan basit bir teoriyi kurmak yuzyillar alabiliyor.

Comments

Cevabınız için Euclid den bir alıntı: QEF

Answer 4

   Elbette ki ölçmenin belli bir hata içermesi ve bu hatanın kabul edilebilir olup olmaması söz konusudur. Ancak benim asıl belirtmek istediğim husus; bir doğru parçası, bir alan değeri, ya da bir cismin hacmi ile ilgili olarak problem içinde  bize veri olarak verilen verilerin irrasyonel olamayacağıdır. Ama soru içindeki veriler bizi sonucu irrasyonel sayılar olan sonuçların bulunmasına götürebilir. Bunda bir sıkıntı yok. 

    Şimdi ben " Bir kenar uzunluğu $\sqrt3$ birim olan bir eşkenar üçgenin sınırladığı alan kaç birim karedir" diye bir soru sorsam, bu soru için ne dersiniz? "Bana ne canım üçgenin kenar uzunluğunu nasıl bulduğundan" diye mi düşünürüz. Yoksa  sanal alemin bir sorusu diye mi? Ben soruda verilen bilgilerin tutarlı ve anlamlı olmasının  gerektiğini ve mutlaka bir filtreden geçirilmesi gerektiğini önemli buluyorum. 

Comments

    Eğer uzunluğu 1 olan bir parçayı ölçme imkanımız varsa,
    uzunluğu  √2 olan parçayı da ölçebiliriz (kenar uzunlukları 1 olan dik üçgenin hipotenüsü).

(E.Mehmet Kıral'a katılarak, şunu demek istiyorum: uzunluğu √2 olan bir parçayı "elle tutma" (ölçme, görme, hayal etme) imkanımız, uzunluğu 1 olan parçada olduğu kadardır).  

---

Ben itirazınızı hala anlamadım sanırım. Sonuç olarak irrasyonel sayılar bulmakta bir sıkıntı yoksa veri olarak verilmesinde ne sorun var? Yani bir problemin sonucu olarak bulabiliyorsanız zaten başka bir problemin verisi olarak da kullanabilirsiniz. "Kenar uzunluğu kök3 birim olan eşkenar üçgen" yerine "kenar uzunluğu, hipotenüsü 2 birim bir kenarı 1 birim olan dik üçgenin diğer kenarı kadar olan eşkenar üçgen" dense ne değişecek ki?