Aritmetik Fonksiyonların Tersi

Question

Uygun şartlar altında bir fonksiyonun tersi bulunabiliyor , ancak aritmetik fonksiyonların tersini bulma şartları nasıl belirlenir ?

 

                      Mesela Euler Phi fonksiyonu tersini nasıl elde ederiz 

                                                        [$\varphi^{-1}(n)$]  ,   $n\geq1$ için 

 öncelikle Dirichlet'in   ''$\ast$'' çarpımı ya da  nam-ı diğer ''convolution'' çarpım operasyonu  grup aksiyomlarını sağlıyor ve bu şartları kullanarak ters fonksiyonu  bulabiliyorum , peki  farklı bir yolla fonksiyonun tersinin bulunması mümkün mü?

\varphi -

                                          

                               

Comments

Güzel bir soru. Şöyle bir ders notu buldum:

https://math.dartmouth.edu/archive/m105f13/public_html/m105f13notes3.pdf

Bu nottaki teoreme göre bir $f$ aritmetik fonksiyonunun Dirichlet çarpımı altında tersi vardır ancak ve ancak $f(1) \neq 0$ ise.
Ders notlarının tamamına şuradan ulaşabilirsiniz:

Topics In Number Theory
http:// https://math.dartmouth.edu/archive/m105f13/public_html/