$A \in \operatorname{GL}_k (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) $ girdileri modülo $n$ sayılardan, ve tersinir bir matris olsun. Yani
$$AB = BA = I$$
eşitliğini sağlayacak bir $B \in \operatorname{GL}_k(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$ var.
Bu $B$'yi nasıl buluruz?
$A$'nın girdileri çeşitli $x$ tamsayıları için $\bar{x} \in \operatorname{Z}/n\operatorname{Z}$ biçiminde elemanlar. Bu girdilerin tepesindeki çizgiyi kaldır. Şimdi elinde tamsayı girdili bir matris var.
Bu matrisin, adına $\tilde{A}$ diyelim, determinantı sıfırdan farklı $d$ gibi bir sayı. Hatta $\det(A) = \overline{\det(\tilde{A})} = \overline{d} \in (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*$.
$$d \tilde{A}^{-1} \in \operatorname{Mat}(n, \mathbb{Z}),$$
ve tamsayı (ya da gerçel) girdili bir matrisin tersinin nasıl bulunacağını biliyorsunuz varsayıyorum.
$$\tilde{A} d \tilde{A}^{-1} = d I$$
eşitliğiinde her tarafı modülo $n$ indirirsek,
$$A \overline{d\tilde{A}^{-1}} = \overline{d} I$$
elde ederiz. Şimdi her iki tarafı da $\overline{d}^{-1} \in (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*$ ile çarpalım. Yani sonuç,
$$A^{-1} = B = \overline{d}^{-1} \overline{d \tilde{A}^{-1}}.$$