Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
505 kez görüntülendi
$A$ ve $B$ simetrik pozitif definit iki matris olsun. $AB$ simetrik ise , pozitif definit midir ?
Lisans Matematik kategorisinde (1.6k puan) tarafından  | 505 kez görüntülendi

1 cevap

2 beğenilme 0 beğenilmeme

$(AB)^T=B^TA^T=BA$ olduğu için $AB$ nin simetrik olması ancak $AB=BA$  iken olur.

$A$ ve $B$ simetrik olduğundan köşegenleştirilebilir :

Bu durumda,( bu videoda ispatlanıyor), $A$ ve $B$ yi aynı anda  köşegenleştirebiliriz, yani her ikisini de özvektörlerinde oluşan bir baz vardır, eşdeğer olarak: $C^{-1}AC$ ve $C^{-1}BC$ köşegen olacak şekilde bir $C$ vardır. Her ikisi de pozitif definit olduğu için köşegenlerdeki elemanlar pozitif olur.

 $C^{-1}(AB)C=(C^{-1}AC)(C^{-1}BC)$ köşegen olup tüm köşegen elemanları pozitif olur. Bu da, $C^{-1}(AB)C $ nin dolayısıyla $AB$ nin pozitif definit olduğunu gösterir.

(6.2k puan) tarafından 
20,218 soru
21,751 cevap
73,351 yorum
1,982,466 kullanıcı