$[0,1]$ araligi uzerinde tanimli monoton bir fonksiyonun sureksiz olabilecegi nokta sayisi sayilabilir olmali

Question

Gosteriniz: $[0,1]$ araligi  uzerinde tanimli monoton bir fonksiyonun sureksiz olabilecegi nokta sayisi sayilabilir olmali.

Bir sekilde $\mathbb Q$ ya da bir alt kumesi ile eslestirme yapmak cozumu getirebilir.

Answer 1

Monoton fonksiyonların sağ ve sol limitleri mevcuttur.
Sürekliliğin olmadığı yerde sağ ve sol limit eşit olmaz.
Bir noktada süreklilik yoksa o noktaya karşılık gelen sağ ve sol limit değerleri arasında bir rasyonel sayı ile o noktayı (seçim beliti ile) eşleyelim.
Monotonluk gereği bu eşleme birebir olur.

Comments

Ayrıca: Limit farklarının sonlu toplamları $|f(b)-f(a)|$ arasında kalır.

---

Ayrıca: Riemann integrallenebilir fonksiyonların süreksiz noktaları sayılabilir ölçümü sıfır olmalı.

---

Sayılabilir olmak zorunda değil Ölçümü 0 olmalı.

---

Teşekkürler, düzenledim.