analiz eşitsizlik

Question

Cauchyschwartz eşitsizliği ,Aritmetik ortalama ,geometrik  ortalama eşitsiliğiini sıralı halde yazsak hangisi hangisinden büyüktür mesela AO>=GO>=CS gibi ?

Comments

Kapsama kümeler arasında söz konusudur. Sorunuzu düzenler misiniz?

---

Yanlş yazmışım pardon yazarken fark ettim düzeltmeyi unttm

---

AO verilen bir sayı dizisini bir sayıya götürür; GO da öyle... Bu iki sayı arasında da bir eşitsizlik vardır (AO-GO eşitsizliği). Buna karşın CS eşitsizliği başlı başına bir eşitsizliktir zaten; bir sayı değildir: Verilen iki sayı dizisinin terimlerinden oluşturulan bir çeşit kombinasyon için üst sınırı belirler. Yâni CS bizlere AO ve GO "sayıları" ile mukâyese edebileceğimiz bir adet sayı vermemektedir.

Umarım soruyu yanlış anlamadım. 

---

Aslında sormak istediğim şey hangi eşitsizlik daha güçlü ? Bunlardan birini uygulayarak çözülen soruyu diğeri ile çözdüğümüzde biri diğerinden daha güçlü kısıtlıyor mu 

---

$x=(x_1, \dots, x_N)$ ve $y=(y_1, \dots, y_N)$ ve AO-GO eşitsizliğiyle uyumlu olması için $x_i, y_i\geq 0$ olsun. Bu durumda CS eşitsizliği, $$\left(\sum_{i=1}^N x_iy_i\right)^2\leq \sum_{i=1}^N x_i^2\sum_{i=1}^N y_i^2$$  ile verilir. Şimdi, $y_i=1$ olsun. Böylece, $$\left(\sum_{i=1}^N x_i\right)^2\leq N\sum_{i=1}^N x_i^2$$ olacaktır. Eşitsizliğin sol tarafı $N\times \mbox{AO}$'ya eşittir. Şimdi, mutlak değeri kaldırmak sûretiyle, ayrıca $\mbox{AO}\geq \mbox{GO}$ meşhûr AO-GO eşitsizliğini hatırlatarak,  $$\left(\prod_{i=1}^N x_i\right)^{\frac{1}{N}}\leq \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i \leq \sqrt{ \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i^2}$$  yazılabilir.