$\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}\left( \cot x\right) ^{\sin x}$ limitinin değeri ?

Question

 $\lim _{x\rightarrow 0^{+}}\left( cotx\right) ^{sinx}$

limitinin değeri ?

@yorum:en sonda 1/0 buluyorum.oda sonsuz eder ?.Ln sonsuzda 0 a eşittir.cevap 1 miş.

Comments

$y = ln(x)$ artan fonksiyondur. Bu fonksiyon sonsuzda  $0$ değerini almaz; sonsuza gider.

---

hocam işlemli yazabilirseniz harika olur.

---

$y=( cotx) ^{sinx}$ deyip her iki tarafın $ln$ sini (doğal log) alın. Burada oluşan 0.sonsuz belirsizliğini sonsuz/sonsuz belirsizliğine çevirip L'Hopital kuralını uygulayın.

---

dediklerinizi yaptımda.sonlarda bi işlem hatam var.orayı anlayamadım

Answer 1

$y=(cotx)^{sinx}$

$lny=sinx.ln(cotx)$


aradığımız ifade ise,

$\lim\limits_{x\to 0^+}y$  imiş....


$\lim\limits_{x\to 0^+}lny=\lim\limits_{x\to 0^+}sinx.ln(cotx)=0.\infty$   belirsizliği oldugundan,


$\lim\limits_{x\to 0^+}lny=\dfrac{\lim\limits_{x\to 0^+}ln(cotx)}{\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{1}{sinx}}=0/0$ olur ve l'hôpital uygulayabiliriz,


$\lim\limits_{x\to 0^+}lny=\dfrac{\lim\limits_{x\to 0^+}ln(cotx)}{\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{1}{sinx}}=\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{-\dfrac{(1+cot^2x)}{cotx}}{-\dfrac{cosx}{sin^2x}}=\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{\overbrace{sinx}^0}{\underbrace{cos^2x}_1}=0$

$ln\left[\lim\limits_{x\to 0^+}y\right]=0$


$\boxed{ e^0=1=\lim\limits_{x\to 0^+}y=\lim\limits_{x\to 0^+}(cotx)^{(sinx)}}$

Comments

bene aynı beyle yaptım.sağol canım

---

oburunde hata yapmışım nıye soylemıyorsun :)

---

sonradan kendimde çözdüm.çok incelememiştim.nasıl beyle bi hata yaptın :S.at kendini diskolara

Answer 2

$\boxed{0^0=1^0=1}$


$\lim\limits_{x\to0+}[cotx]^{sinx}=\dfrac{\overbrace{\left[\lim\limits_{x\to0+}cosx\right]^{(\lim\limits_{x\to0+}sinx)}}^{1^0=1}}{\underbrace{\left(\lim\limits_{x\to0+}sinx\right)^{(\lim\limits_{x\to0+}sinx)}}_{0^0=1}}$

Comments

ln tabanında yazıp l hospital uyguladım.o çözümüde atabilirmisin

---

$0^0=1$ mi?   

---

Bilmem ,bizim köyde 1 diyorlar :)

---

ben tanımsız biliyodum onu

---

$\lim_{x\to 0} x^0$ ve $\lim_{x \to 0} 0^x$ limitlerinin ikisi de  $1$ o zaman?

---

anıl ses ver.aloooğğğ

Answer 3

$(\lim\limits_{x\to0+}sinx)=0$  değildir,bu yüzden HATALI ÇÖZÜM

$ BİLGİ:\quad\quad \boxed{ln\left[\lim\limits_{x\to a}f\right]=\lim\limits_{x\to a}\left[lnf\right]}$

$y=(cotx)^{sinx}$


$lny=sinx.ln(cotx)=sinx[ln(cosx)-ln(sinx)]$

Limit alalım,

$\lim\limits_{x\to0+}lny=ln[\lim\limits_{x\to0+}y]=\underbrace{\lim\limits_{x\to0+}sinx}_0 \underbrace{\left[ln(\lim\limits_{x\to0+}cosx)-ln(\lim\limits_{x\to0+}sinx)\right]}_{1-0}$

Dolayısıyla,

$ln[\lim\limits_{x\to0+}y]=0$

$e^0=\lim\limits_{x\to0+}y=1$

Comments

Fotonyiyenadam, çözümünüz problemli. Öncelikle $0^{0}$ değerini hem $0$ hem de $1$ kabül eden matematikçiler var. Limit durumunda bu değer farklı sayılara yaklaşabiliyor. İlk çözümünüzde belirsizliği hesaba katmadan bahsi geçen değeri $1$ kabül ederek çözmüşünüz.

İkinci yolunuzda $x$, $0$'a yaklaşırken $ln(sinx)$ değeri $0$'a değil, eksi sonsuza yaklaşır.

---

$0^0$   konusunda ben de araştırma yaptım ancak "1"  imiş,

bkz.1: http://matkafasi.com/66709/%240-0-%24-i-celiski-yaratarak-tanimsizligini-ispatlayiniz?show=66709#q66709


bkz.2:http://matkafasi.com/654/hic-bir-seyin-carpimi-nedir

ikinci yolda hatam var haklısınız, ters cevırıp l hopıtal yapmalıydım,kafam cok dagınık hep boyle hatalar :) 



Uyarınız için çok teşekkürler hocam.

---

yeni çözüm yapıldı. 

---

$(\lim\limits_{x\to0+}sinx)=0$  eşitliği doğru fotonyiyenadam.

---

lnx  için $x\to 0$  iken  $-\infty$  dolayısıyla hatalıyım. "0" yazarak