Benim aciklamam biraz uyduruk olacak sanirim. Başlamadan önce bos kume uzerinden yapilan toplama ve carpmanin neye esit oldugu tanimlanan bir sey olmadığını söyleyeyim.Toplam ($\sum$) ve carpma ($\prod$) islemlerinin tanimindan cikan bir sonuc.
Başlarken soyle bir gozlem yapalim:
Eger $A$ ve $B$ ayrik kumelerse soyle bir esitligimiz olacaktir.
$$\prod_{x\in A\cup B}x=\prod_{x\in A}x\cdot\prod_{y\in B}y$$
Eger $B$ yerine bos kume alirsak
$$\prod_{x\in A}x=\prod_{x\in A\cup \emptyset}x=\prod_{x\in A}x\cdot\prod_{y\in \emptyset}y$$
esitligini elde ederiz. Sanirim esitligin sag ucundaki degerin ne olmasi gerektigi acik.
Notlar:
1- Bir kume uzerinden carpma yaptigimizi soyledimiz icin, carpmanin siralamasinin onemsiz oldugunu da kabul etmis oluyoruz. Yani carpmamizin degismeli oldugunu. Kaldi ki degismeli olmayan carpimlar icin de ayni ispat yapilabilir, yalnizca tanımı yaparken siralamayi da goz etmek gerekecektir.
2- Toplama ve birlesimle ilgili de tipatip ayni ispat yontemi kullanilarak toplam durumundaki sonucun $0$, birlesim durumundaki sonucun $\emptyset$ olacagi gorulebilir.
3- Bos kume uzerinde indekslenmis kumelerin kesisimi de aslinda ayni bicimde anlamlandirilmakta. Oncelikle uzerine konusmus oldugumuz diger uc durumdaki sonuclarin benzerligine bir goz atalim. Dikkat edilirse bos kume uzerinden bir islem yaptigimizda elimize hep yaptigimiz islemin etkisiz elemani geldi:
$\cdot$ Carpmanin etkisiz elemani $1$;
$\cdot$ Toplamanin etkisiz elemani $0$;
ve nihayet
$\cdot$ Birlesimin etkisiz elemani $\emptyset$.
O halde kesisim icin de benzer bir sonucun dogru olmasini bekleyebiliriz. Ama dikkat etmemiz gerek. Neye dikkat etmemiz gerek?
Iki kumenin kesisimi, ikisini iceren ortak bir kumenin varliginda anlamli ve tanimlidir. Bu yuzden bos kumenin elemanlariyla indekslenmis altkumelerin belli bir kumenin icindeki kesisiminden soz ediyoruz aslinda. Yani
$$\bigcap_{A\in\emptyset}A$$
anlamli bir cumle degil. Bu cumlenin anlamli hali sudur:
$$\bigcap_{\substack{A\in\emptyset \\ A\subseteq X}}A$$.
Burada $X$ herhangi bir kume. Diger orneklerde de bu $X$ var. Uzerine konustugumuz carpma ve toplamada $X$ reel sayilar, tamsayilar vs alinabilir ornegin.
Bu durumda da bulmamiz gereken sey, $X$ kumesinin altkumeleri arasinda kesisime gore etkisiz olan eleman olacaktir. O da tabii ki $X$ kumesinin ta kendisidir. Bunun ispati da diger durumlarin ispatiyla ayni bicimde yapilabilir.