Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
6 beğenilme 0 beğenilmeme
1.5k kez görüntülendi

Hiçbir şeyi çarparsak ne elde ederiz?

Mesela n{3,7}n=3×7=21 ve n{3}n=3.  O halde nn=?.  

Benzer şekilde,

Hiçbir şeyi toplarsak ne elde ederiz, yani nn=?

Hiçbir kümenin birleşimi nedir, yani AA=?

Hiçbir kümenin kesişimi nedir, yani AA=?


Lisans Matematik kategorisinde (209 puan) tarafından  | 1.5k kez görüntülendi

2 Cevaplar

5 beğenilme 0 beğenilmeme

Benim aciklamam biraz uyduruk olacak sanirim. Başlamadan önce bos kume uzerinden yapilan toplama ve carpmanin neye esit oldugu tanimlanan bir sey olmadığını söyleyeyim.Toplam () ve carpma () islemlerinin tanimindan cikan bir sonuc. 


Başlarken soyle bir gozlem yapalim:

Eger A ve B ayrik kumelerse soyle bir esitligimiz olacaktir.

xABx=xAxyBy

Eger B yerine bos kume alirsak

xAx=xAx=xAxyy

esitligini elde ederiz. Sanirim esitligin sag ucundaki degerin ne olmasi gerektigi acik.


Notlar: 

1- Bir kume uzerinden carpma yaptigimizi soyledimiz icin, carpmanin siralamasinin onemsiz oldugunu da kabul etmis oluyoruz. Yani carpmamizin degismeli oldugunu. Kaldi ki degismeli olmayan carpimlar icin de ayni ispat yapilabilir, yalnizca tanımı yaparken siralamayi da goz etmek gerekecektir.


2- Toplama ve birlesimle ilgili de tipatip ayni ispat yontemi kullanilarak toplam durumundaki sonucun 0, birlesim durumundaki sonucun olacagi gorulebilir.


3- Bos kume uzerinde indekslenmis kumelerin kesisimi de aslinda ayni bicimde anlamlandirilmakta. Oncelikle uzerine konusmus oldugumuz diger uc durumdaki sonuclarin benzerligine bir goz atalim. Dikkat edilirse bos kume uzerinden bir islem yaptigimizda elimize hep yaptigimiz islemin etkisiz elemani geldi:

Carpmanin etkisiz elemani 1;

 Toplamanin etkisiz elemani 0;

ve nihayet

 Birlesimin etkisiz elemani .

O halde kesisim icin de benzer bir sonucun dogru olmasini bekleyebiliriz. Ama dikkat etmemiz gerek. Neye dikkat etmemiz gerek?

Iki kumenin kesisimi, ikisini iceren ortak bir kumenin varliginda anlamli ve tanimlidir. Bu yuzden bos kumenin elemanlariyla indekslenmis altkumelerin belli bir kumenin icindeki kesisiminden soz ediyoruz aslinda. Yani 


AA


anlamli bir cumle degil. Bu cumlenin anlamli hali sudur:


AAXA

Burada X herhangi bir kume. Diger orneklerde de bu X var. Uzerine konustugumuz carpma ve toplamada X reel sayilar, tamsayilar vs alinabilir ornegin.


Bu durumda da bulmamiz gereken sey, X kumesinin altkumeleri arasinda kesisime gore etkisiz olan eleman olacaktir. O da tabii ki X kumesinin ta kendisidir. Bunun ispati da diger durumlarin ispatiyla ayni bicimde yapilabilir.


(3.7k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
2 beğenilme 1 beğenilmeme
Birleşim konusunda pek bir sıkıntı yok. AIA={x:AI xA} olduğu için I= durumunda hiç bir x kümesi ilgili formülü sağlayamayacağından dolayı AA= olur.

Kesişim içinse ilginç bir durum söz konusu. AIA={x:AI xA} olduğu için I= olduğunda herhangi bir x kümesi A xA formülünü sağlar. Çünkü bir x kümesi sabitlediğimizde boş kümenin her elemanı x'e eşittir. Dolayısıyla AA tüm kümeler evrenine eşittir (ve bir küme değildir), yani AA=V.

Toplam ve çarpım sembolleri içinse yanıt bu sembolleri nasıl tanımladığınıza göre değişecektir. Ancak tanımların ΣiIai=(ΣiI{n}ai)+an ve ΠiIai=(ΠiI{n}ai)an özelliklerini sağlamasını istiyorsak boş toplamın 0, boş çarpımın da 1 olarak tanımlanması lazım.
(1.3k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
20,296 soru
21,840 cevap
73,541 yorum
2,723,919 kullanıcı