Eşitsizlik İçinde Logaritma

Question

    Eğer $a$ , $b$ , $c$ , $1$ den büyük reel sayılarsa  $her$  $r>0$ için 

            $(log_{a}{bc})^r +(log_{b}{ca})^r +(log_{c}{ab})^r \geq 3.2^r$

   

    olduğunu gösteriniz

Comments

Aritmetik Ortalama $\geq$ Geometrik Ortalama bilgisinden çıkmıyor mu?

---

Bir çözüm buldum Murat hocam ,evet geliyor yanlız siz çözümü bulduysanız çözümünüzü gönderin 

---

Merhaba Ben İbrahim Emre Kıvanççı.Bornova Anadolu Lisesi lise 3. sınıf öğrencisiyim.Yüksek matematiğe ve olimpiyatlara ilgim var.Bir Çözüm buldum fakat r değilde r/3 buluyorum durmadan çözümüme bakar mısınız saygıdeğer matkafası hocalarım. 

Çözümüm: 

Aritmatik Ortalama-Geometrik ortalama eşitsizliğinden: 

$(log_{a}{bc})^r+(log_{b}{ac})^r+(log_{c}{ab})^r \geq 3.[log_{a}{bc}.log_{b}{ac}.log_{c}{ab}]^{r/3}$ 

e zaten; 

$log_{a}{bc}.log_{b}{ac}.log_{c}{ab}=2$ olduğundan 

$(log_{a}{bc})^r+(log_{b}{ac})^r+(log_{c}{ab})^r \geq 3.2^{r/3}$ buldum

peki ya  

$(log_{a}{bc})^r+(log_{b}{ac})^r+(log_{c}{ab})^r \geq 3.2^{r}$ her zaman mümkün müdür? 

onuda ispatlamaya çalışırken şunları denedim ama olmadı: 

$(log_{a}{bc})^r+(log_{b}{ac})^r+(log_{c}{ab})^r \geq 3.{2}^r$

=

$(log_{a}{abc}-1)^r+(log_{b}{abc}-1)^r+(log_{c}{abc}-1)^r \geq 3.{2}^r$ 

=

$(1/log_{abc}{a}-1)^r+(1/log_{abc}{b}-1)^r+(1/log_{abc}{c}-1)^r \geq 3.{2}^r$

$k=log_{abc}{a}$ ,  $l=log_{abc}{b}$  , $m=log_{abc}{c}$ diye isimlendirelim ki daha iyi bazı şeyler görelim. k+l+m logaritma fonksiyonunun özelliklerinden 1 eşit olur yani 

k+l+m=1 bu bir kenarda dursun. 

k,l,m yi denklemde yerine yazarsak: 

$(1/k-1)^r+(1/l-1)^r+(1/m-1)^r \geq 3.{2}^r$ 

$(1-k/k)^r+(1-l/l)^r+(1-m/m)^r \geq 3.{2}^r$

$1-k=a$ , $1-l=b$ , $1-m=c$ 

iye yeni bir isimlendirme daha yapalım.

k+l+m=1  olduğundan;

$a+b+c=3-(k+l+m)=3-1=2$ bulunur.

enklemi yeniden yazalım:

$(1-k/k)^r+(1-l/l)^r+(1-m/m)^r \geq 3.{2}^r$

= 

$[(a/k)^r+(b/l)^r+(c/m)^r]/3 \geq 3.{2}^r)$ 

soruyu yeni bir soruya dönüştürdüm:

a+b+c=2 ve k+l+m=1 özelliklerini sağlayan (k,l,m) 0 ile 1 arasında reel sayıl üçlüsü , (a,b,c,) ise 1 ile -1 arasında herhangi reel sayı üçlüsü  iken

$[(a/k)^r+(b/l)^r+(c/m)^r] \geq 3.{2}^r)$ 

olduğunu kanıtlayınız.

soru içinde soru çıkarttım :)

biri bulursa lütfen hemen yazsın meraktan çıldırıyorum uyuyamadım saat gece 3 oldu  

---

O zaman yeni sorumuz senin   donusturdugun  soru oldu ibrahim  :- ) harika belkide  son yazdığını  kanitlarsak işimiz tamamdır ;-)

---

Bu arada uyku- beslenme önemli ibrahim ve yapabiliyorsan spor günlük diyelim 70 kilogramsan kilo  başına 2 gram protein alman lazım 3-4  gram karbonhidrat yani sağlam kafa sağlam vucudda bulunur 

---

Soru için r. Dereceden kuvvet ortalaması yazarsanız ve x+1/x>=2 kullanırsanız çıkıyor 

---

$log_{a}{bc}.log_{b}{ac}.log_{c}{ab}$ niçin 2 'ye eşittir?

$1-k=a,1-l=b,1-m=c$ eşitliklerindeki $a,b,c$  ile sorudaki $a,b,c$ neden aynı?

Answer 1

$(log_{a}{bc})^r+(log_{c}{ab})^r+(log_{b}{ac})^r\geq 3. (\frac{log_{a}{bc}+log_{c}{ab}+log_{b}{ac}}{3})^r$ kuvvet eşitsizlği bundan sonrası logaritma $$log_{a}{bc}=log_{a}{b}+log_{a}{c}$$ diğer ifadeleride aynı şekilde yazar ve $$log_{a}{b}+log_{b}{a}\geq2$$ eşitsiliklerini (üç tane) kullanırsak istenen eşitsizlik elde edilir