Merhaba Ben İbrahim Emre Kıvanççı.Bornova Anadolu Lisesi lise 3. sınıf öğrencisiyim.Yüksek matematiğe ve olimpiyatlara ilgim var.Bir Çözüm buldum fakat r değilde r/3 buluyorum durmadan çözümüme bakar mısınız saygıdeğer matkafası hocalarım.
Çözümüm:
Aritmatik Ortalama-Geometrik ortalama eşitsizliğinden:
$(log_{a}{bc})^r+(log_{b}{ac})^r+(log_{c}{ab})^r \geq 3.[log_{a}{bc}.log_{b}{ac}.log_{c}{ab}]^{r/3} $
e zaten;
$log_{a}{bc}.log_{b}{ac}.log_{c}{ab}=2 $ olduğundan
$(log_{a}{bc})^r+(log_{b}{ac})^r+(log_{c}{ab})^r \geq 3.2^{r/3} $ buldum
peki ya
$(log_{a}{bc})^r+(log_{b}{ac})^r+(log_{c}{ab})^r \geq 3.2^{r} $ her zaman mümkün müdür?
onuda ispatlamaya çalışırken şunları denedim ama olmadı:
$(log_{a}{bc})^r+(log_{b}{ac})^r+(log_{c}{ab})^r \geq 3.{2}^r $
=
$(log_{a}{abc}-1)^r+(log_{b}{abc}-1)^r+(log_{c}{abc}-1)^r \geq 3.{2}^r$
=
$(1/log_{abc}{a}-1)^r+(1/log_{abc}{b}-1)^r+(1/log_{abc}{c}-1)^r \geq 3.{2}^r$
$k=log_{abc}{a}$ , $l=log_{abc}{b}$ , $m=log_{abc}{c}$ diye isimlendirelim ki daha iyi bazı şeyler görelim. k+l+m logaritma fonksiyonunun özelliklerinden 1 eşit olur yani
k+l+m=1 bu bir kenarda dursun.
k,l,m yi denklemde yerine yazarsak:
$(1/k-1)^r+(1/l-1)^r+(1/m-1)^r \geq 3.{2}^r$
$(1-k/k)^r+(1-l/l)^r+(1-m/m)^r \geq 3.{2}^r$
$1-k=a$ , $1-l=b$ , $1-m=c$
iye yeni bir isimlendirme daha yapalım.
k+l+m=1 olduğundan;
$a+b+c=3-(k+l+m)=3-1=2$ bulunur.
enklemi yeniden yazalım:
$(1-k/k)^r+(1-l/l)^r+(1-m/m)^r \geq 3.{2}^r$
=
$[(a/k)^r+(b/l)^r+(c/m)^r]/3 \geq 3.{2}^r)$
soruyu yeni bir soruya dönüştürdüm:
a+b+c=2 ve k+l+m=1 özelliklerini sağlayan (k,l,m) 0 ile 1 arasında reel sayıl üçlüsü , (a,b,c,) ise 1 ile -1 arasında herhangi reel sayı üçlüsü iken
$[(a/k)^r+(b/l)^r+(c/m)^r] \geq 3.{2}^r)$
olduğunu kanıtlayınız.
soru içinde soru çıkarttım :)
biri bulursa lütfen hemen yazsın meraktan çıldırıyorum uyuyamadım saat gece 3 oldu