Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
1.8k kez görüntülendi

    Eğer $a$ , $b$ , $c$ , $1$ den büyük reel sayılarsa  $her$  $r>0$ için 


            $(log_{a}{bc})^r +(log_{b}{ca})^r +(log_{c}{ab})^r \geq 3.2^r$

   

    olduğunu gösteriniz

Lisans Matematik kategorisinde (252 puan) tarafından 
tarafından yeniden kategorilendirildi | 1.8k kez görüntülendi

Aritmetik Ortalama $\geq$ Geometrik Ortalama bilgisinden çıkmıyor mu?

Bir çözüm buldum Murat hocam ,evet geliyor yanlız siz çözümü bulduysanız çözümünüzü gönderin 

Merhaba Ben İbrahim Emre Kıvanççı.Bornova Anadolu Lisesi lise 3. sınıf öğrencisiyim.Yüksek matematiğe ve olimpiyatlara ilgim var.Bir Çözüm buldum fakat r değilde r/3 buluyorum durmadan çözümüme bakar mısınız saygıdeğer matkafası hocalarım. 

Çözümüm: 

Aritmatik Ortalama-Geometrik ortalama eşitsizliğinden: 

$(log_{a}{bc})^r+(log_{b}{ac})^r+(log_{c}{ab})^r \geq 3.[log_{a}{bc}.log_{b}{ac}.log_{c}{ab}]^{r/3} $ 

e zaten; 

$log_{a}{bc}.log_{b}{ac}.log_{c}{ab}=2 $ olduğundan 

$(log_{a}{bc})^r+(log_{b}{ac})^r+(log_{c}{ab})^r \geq 3.2^{r/3} $ buldum

peki ya  

$(log_{a}{bc})^r+(log_{b}{ac})^r+(log_{c}{ab})^r \geq 3.2^{r} $ her zaman mümkün müdür? 

onuda ispatlamaya çalışırken şunları denedim ama olmadı: 

$(log_{a}{bc})^r+(log_{b}{ac})^r+(log_{c}{ab})^r \geq 3.{2}^r $

=

$(log_{a}{abc}-1)^r+(log_{b}{abc}-1)^r+(log_{c}{abc}-1)^r \geq 3.{2}^r$ 

=

$(1/log_{abc}{a}-1)^r+(1/log_{abc}{b}-1)^r+(1/log_{abc}{c}-1)^r \geq 3.{2}^r$

$k=log_{abc}{a}$ ,  $l=log_{abc}{b}$  , $m=log_{abc}{c}$ diye isimlendirelim ki daha iyi bazı şeyler görelim. k+l+m logaritma fonksiyonunun özelliklerinden 1 eşit olur yani 

k+l+m=1 bu bir kenarda dursun. 

k,l,m yi denklemde yerine yazarsak: 

$(1/k-1)^r+(1/l-1)^r+(1/m-1)^r \geq 3.{2}^r$ 

$(1-k/k)^r+(1-l/l)^r+(1-m/m)^r \geq 3.{2}^r$

$1-k=a$ , $1-l=b$ , $1-m=c$ 

iye yeni bir isimlendirme daha yapalım.

k+l+m=1  olduğundan;

$a+b+c=3-(k+l+m)=3-1=2$ bulunur.

enklemi yeniden yazalım:

$(1-k/k)^r+(1-l/l)^r+(1-m/m)^r \geq 3.{2}^r$

$[(a/k)^r+(b/l)^r+(c/m)^r]/3 \geq 3.{2}^r)$ 

soruyu yeni bir soruya dönüştürdüm:

a+b+c=2 ve k+l+m=1 özelliklerini sağlayan (k,l,m) 0 ile 1 arasında reel sayıl üçlüsü , (a,b,c,) ise 1 ile -1 arasında herhangi reel sayı üçlüsü  iken

$[(a/k)^r+(b/l)^r+(c/m)^r] \geq 3.{2}^r)$ 

olduğunu kanıtlayınız.

soru içinde soru çıkarttım :)

biri bulursa lütfen hemen yazsın meraktan çıldırıyorum uyuyamadım saat gece 3 oldu  





O zaman yeni sorumuz senin   donusturdugun  soru oldu ibrahim  :- ) harika belkide  son yazdığını  kanitlarsak işimiz tamamdır ;-)

Bu arada uyku- beslenme önemli ibrahim ve yapabiliyorsan spor günlük diyelim 70 kilogramsan kilo  başına 2 gram protein alman lazım 3-4  gram karbonhidrat yani sağlam kafa sağlam vucudda bulunur 

Soru için r. Dereceden kuvvet ortalaması yazarsanız ve x+1/x>=2 kullanırsanız çıkıyor 

$log_{a}{bc}.log_{b}{ac}.log_{c}{ab}$ niçin 2 'ye eşittir?

$1-k=a,1-l=b,1-m=c $ eşitliklerindeki $a,b,c$  ile sorudaki $a,b,c$ neden aynı?

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$(log_{a}{bc})^r+(log_{c}{ab})^r+(log_{b}{ac})^r\geq 3. (\frac{log_{a}{bc}+log_{c}{ab}+log_{b}{ac}}{3})^r$ kuvvet eşitsizlği bundan sonrası logaritma $$log_{a}{bc}=log_{a}{b}+log_{a}{c}$$ diğer ifadeleride aynı şekilde yazar ve $$log_{a}{b}+log_{b}{a}\geq2$$ eşitsiliklerini (üç tane) kullanırsak istenen eşitsizlik elde edilir

(1.8k puan) tarafından 
19,393 soru
21,149 cevap
70,809 yorum
25,201 kullanıcı