Türevlenebilen ve türevi kendisine eşit olan tüm fonksiyonları bulunuz

Question

Türevlenebilen ve türevi kendisine eşit olan  çok tanınmış bir fonksiyon var. $a\in R$ olmak üzere,  $f(x)=a.e^x$ ise $f'(x)=f(x)$ dir. $f(x)\neq0$ olmak üzere,acaba bu özellikte başka fonksiyonlar var mı?  

Comments

$a\in\mathbb R$   olmak üzre,

$f(x)=a.e^x$   fonksiyonu istenilen şartlara uyar ve sayılamaz çoklukta bu fonksiyondan vardır .

Bu yaptıgım "hileli bir çözüm" yani tam istediğiniz soruya cevap degıl bılıyorum , umarım güzel cevaplar gelir.

Bu arada ,$f(x)=f^{(4n)}(x)\quad n\in\mathbb N^+$   için olsaydı  $sinx$   ve   $cosx$ fonksiyonları olabılırdı .

---

yani bu şartlara uyan kaç çeşit/cins fonksıyon oldugunu arıyorsunuz.

---

"Hileli çözüm" benim pek sevmediğim bir kavram. Ama benim beklentim senin yazdığın biçimdekilerin haricinde olanlar. Bu yüzden soruyu yeniden düzenledim. Katkın için teşekkürler.

---

Rica ederim hocam, bu "hileli çözüm tabiri" biraz espirili ve kötü niyet teşkil etmediğini tekrar belirtiyim dedim :D Soru güzel, cevapları çok merak ediyorum.Saygılar ,sevgiler.

---

Ben de merak ediyorum. Sevgiler.

---

Merhabalar

$\frac{dy}{dx}=y$, $y(x_0)=y_0$ koşullarini saglayan fonksiyon $y=A.e^x$  dişında olamaz diyor. Bunu da Picard–Lindelöf teoremi denen "biriciklik~uniqueness ile açiklamişlar

Turevi kendisi turunden yazilabilen fonksiyonlara da bir başlik açilmiş,o da ilgi cekici Buradan bakilabilir.

Dip not : cevap kismina yazmadim cunku konu hakkinda bilgi sahibi degilim sadece biraz araştirdiklarimdan konuyla ilgili oldugunu düşündüklerimi ekledim.

Bakmak isterseniz. Burada (dogrudur,yanliştir )

Selamlar saygilar

---

Degerlı bılgıler ıcın teşekkurler sayın @matbazz.

---

Rica ederim. Bu arada "sayin" olmamasi tercihimdir. Saygilar selamlar (;

Answer 1

Daha basit (diferansiyel denklem kullanmadan) yöntemlerle de soruya şu cevabı verebiliriz:

$f$, bir aralıkta tanımlı, bu aralığın her noktasında türevlenebilen ve bu aralığın her noktasında $f'(x)=f(x)$ ise (bir $a$ sabiti için $f(x)=ae^x$ olur.

İspatı: Bu aralığın her noktasında $(f(x)e^{-x})'=...=0$ olduğundan (türev için) Ortalama Değer Teoreminden, $f(x)e^{-x}$ bu aralıkta sabit olmak zorundadır. Sabite $a$ adını verilince  $f(x)=ae^x$ olması gerektiği görülür.

(matbaz ın son bağlantısında da benzer çözüm var. Ben aralık koşulunu vurgulamak istedim)

Aralık koşulu olmadan iddia doğru olmazdı. Örnek

$\mathbb{R}\setminus\{0\}$ da tanımlı $f(x)=\begin{cases}e^x,\ \ x>0\textrm{ ise}\\2e^x,\ x<0\textrm{ ise}\end{cases}$ fonksiyonu bir karşı örnek olurdu.

Comments

Teşekkürler sayın Doğan hocam.Buradan integrallenebildiği aralıkta integrali kendisine eşit olan fonksiyonunda yine yalnız  $f(x)=ae^x$ olduğunu söyleyebiliriz değil mi?

---

$f'(x)=f(x)$ denkleminde iki tarafı da $f(x)$'e bölüp integral alırsak $lnf(x)=x$, $f(x)=e^x$ gelir. En baştaki eşitliği herhangi bir $a$ sayısıyla çarpmak eşitliği bozmayacağı için sağlamasını yaptık sanırım.