Halka icin uretec kumesi

Question

$A$ degismeli bir halka, $f_1,\cdots,f_k\in A$ elemanlarinin gerdigi ideal de $A$'ya esit olsun. Bu durumda her pozitif $N$ icin $f_1^N,\cdots,f_k^N$ elemanlarinin gerdigi ideal de $A$'ya esittir.

Ek: Halkamiz birimli.

Comments

N=1 icin dogru.

---

Halkada birim eleman var mı?

---

Duzelttim hocam.

---

Dün gece $A$ halkası değişmeli değil idi!

---

Değişmeliydi. Hem halkalar arası olağan üstü hal olmuş olabilir.

---

Zaten bir taraf açıktı. Diğer tarafta değişmelilikten ve birimi $f_i$ ler bakımından yazarak gelir diyorum. 

---

Hangi taraf? Soru tek yönlü değil mi?

---

$A$ nın $f_{i}^k$ lar bakımından yazılışındaki küme eşitliği. Yani alt küme eşitliği ile. 

---

$A=<f_1,f_2,...,f_k>$ olsun. İddia: $A=<f_1^{N},f_2^{N},...,f_k^{N}>$ her $N$ için. $x\in <f_1^{N},f_2^{N},...,f_k^{N}>$ olsun. Bu durumda $x=r_1f_1^{N}+...+r_kf_k^{N}$ olacak şekilde $r_1,..,r_k\in A$ vardır. $x=(r_1f_1^{N-1})f_1+(r_2f_2^{N-1})f_2+...+(r_kf_k^{N-1})f_k$ olup $x\in A$ olur.
Yani; $ <f_1^{N},...,f_{k}^{N}>\subseteq A$. Diğer tarafta doğru ama henüz göremedim!

Answer 1

$1=\sum_{i=1}^k a_if_i$ olsun. Her $j=1,2,\ldots,k$ için $f_j=\sum_{i=1}^k a_if_if_j$ ve $1=(\sum_{i=1}^k a_if_i)^N$ olur. $(\sum_{i=1}^k a_if_i)^N$ yi binom açılımı yapılırsa çoğu terimde her bir  $f_i$ nin kuvveti $N$ den küçük olacaktır. Bu terimlerde, $f_i$ nin kuvvetleri toplamına  "derece" diyelim. Her terimin derecesi $N$ dir. Bu durumdaki terimlerdeki $f_j$ yerine $\sum_{i=1}^k a_if_if_j$ yazıp dağılma uygularsak (her yeni) terimin derecesi 1 artacaktır. Bunu defalarca  yaparak her terimin derecesini $kN-k+1$ yapalım. Şimdi her terimde bir $f_j^N$ var olacaktır.

Böylece $A=<f_1^N,f_2^N,\ldots,f_k^N>$  olur.

Comments

Hocam ben de ayni seyi bir baska bicimde yazayim. Siz sonucun nasil bulunmasi gerektigini yazmissiniz, benimki dogrudan sonucu yazmak olacak gerci. $M=kN-k+1$ olsun. Halkanin birim elemani $f_i$'ler tarafindan yazilabildigi icin$$1=\sum_{i=1}^ka_if_i$$esitligini saglayan $a_i\in A$ elemanlari bulunabilir. Simdi her iki tarafin $M$'inci kuvvetini alalim: $$1=\Big(\sum_{i=1}^ka_if_i\Big)^M=\sum u_{n_1,\cdots,n_k} f_1^{n_1}\cdots f_k^{n_k}$$Burada $u$ katsayilari $a_i$'lerin kombinasyonlarindan olusacak dogal olarak ayrica da $n_1+\cdots+n_k=M$ olacagi icin bu sayilardan en az bir tanesi $N$'den buyuk olacaktir. Yani her terim $f_i^N$'lerden birisinin kati olacaktir. Bu da $f_i^N$'lerle $1$'i yazmak demek.

---

Evet böyle daha iyi olmuş.